1、长郡中学2021-2022学年度高二第一学期期中考试数 学得分：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共8页时量120分钟满分100分第卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知向量，则向量的模为（ ）A1B2CD2数列为等差数列，若，则（ ）A1B2C3D43双曲线的离心率是（ ）A1BC2D4直线在轴上的截距为（ ）A2BCD35已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）ABCD6在平面直角坐标系中，已知点，动点M满足，则的最大值为（ ）AB0C1D27如图所示，在正方体中，点E是棱BC的中
2、点，点G是棱的中点，则异面直线GB与所成的角为（ ）A120B90C60D308对任一实数序列，定义序列，它的第项为假定序列的所有项都为1，且，则（ ）A1000B2000C2003D4006二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9数列满足，对任意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（ ）ABCD10已知直线，A（1，2），B（3，3），则下列结论正确的是（ ）A当时，直线的倾斜角为45B当时，直线的斜率不存在C直线恒过定点D当时，直线与直线垂直11若函数的图象与直线有公共点，则实数的可
3、能取值为（ ）AB1CD012已知抛物线C：（）的焦点为，直线的斜率为，且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（ ）ABF为AD中点CD第卷三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13已知是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和是 14正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为 15九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得
4、多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）这个问题中，戊所得为 钱162020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点，探测器在处以12km/s的速度匀速直线飞向距月心2000 km的圆形轨道上的某一点P，在点P处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18 km/s的速度匀速直线飞至，这一过程最少用时 s四、解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（6分）已知三个顶点是，（1）求
5、BC边上的垂直平分线的直线方程；（2）求点A到BC边所在直线的距离18（8分）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程19（8分）已知数列的前项和为，点在直线上（1）求数列的前项和，以及数列通项公式；（2）若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值20（8分）已知，直线和圆（1）求直线斜率的取值范围；（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？21（8分）如图，在四棱锥中，平面平面，（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值22（10分）设抛物线（）的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知
6、，（1）求抛物线的方程；（2）过焦点作直线交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与的准线相交于，两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的两个定点长郡中学20212022学年度高二第一学期期中考试数学参考答案题号123456789101112答案CBDBCCBDADCDABCDABC一、单项选择题1.C 2.B 3.D 4.B 5.C6.C 易知的轨迹为椭圆，其方程为，设，则，因为，所以，即，.故选C.7.B8.D 【解析】依题意知是公差为1的等差数列，设其首项为，通项为，则，于是.由于，即，解得，.故.故选D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项
7、符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.AD 10.CD 11.ABCD12.ABC 【解析】如图，直线的斜率为，则直线方程为，联立，得.解得，由，得.抛物线方程为.，则；，则为中点.运算结论正确的是A、B、C.故选：ABC.三、填空题13.614. 【解析】：正四棱锥的底面边长和高都等于2，该四棱锥的体积.15. 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，则根据题意有，解得，所以戊所得为.16. 【解析】设，飞行过程所用时间，令，即，设点在圆形轨道内，取点坐标为，而，由得，即，设动点，当时，即，化简整理得，即满足的动点的轨迹就是给定的圆形轨道，所以距月心2000k
8、m的圆形轨道上的任意点均有成立，如图，连，于是有，当且仅当为线段与圆形轨道交点时取“”，即有，所以这一过程最少用时.四、解答题17.【解析】（1），则所求直线的斜率为：.又的中点的坐标为，所以边上的中垂线所在的直线方程为：.（2）直线的方程为：，则点到直线的距离为：.18.【解析】（1）椭圆的焦点坐标为.（2）设的方程为，即，依题意，解得，所以的标准方程为：.19.【解析】（1）由题意知：，则，当时，；当时，；而，.（2），当时，当时，故.20.【解析】（1），（*），（求出斜率表达式给2分），当时，解得且，又当时，方程（*）有解，综上所述，.（2）假设直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧.
9、设直线与圆交于、两点，则.圆，圆心到的距离为1.故有，整理得，无实数解.因此直线不可能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧.21.【解析】（1）证明：在四边形中，所以，都为等腰直角三角形，即，又因为平面平面，平面平面，所以直线平面，又平面，所以，又，所以平面.（2）以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图，则，因为直线与底面所成角的正切值为，所以在中，.设平面和平面法向量分别为，易知可取，因为，所以，即，令，解得.设所求二面角为，所以，.22.【解析】（1）设点，因为点在抛物线上，则，得，即.因为，则.因为，则，即，所以，化简得，解得，所以抛物线的方程是.（2）设直线的方程为，代入，得.设点，则，.设点，则，直线的方程为.令，得，所以点.同理，点.设以线段为直径的圆与轴的交点为，则，.因为，则，即，得或.故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.
