1、4 简单线性规划 4.1 二元一次不等式(组)与平面区域 必备知识自主学习 1.二元一次不等式与平面区域(1)概念背景:直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三部分,即自身和它的 _.导思1.如何理解“以线定界,以点定域”?2.如何作出二元一次不等式(组)所表示的平面区域?两侧 直线l上的点(x,y)的坐标满足_;直线l一侧的_内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c0;直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足_.(2)判断方法:判断不等式ax+by+c0所表示的平面区域,只需在直线ax+by+c=0 的某一侧的平面区域内选取一个特殊点(x0,y0),从_值的正负,即可判 断不
2、等式表示的平面区域.(3)画法注意点:若把直线l:ax+by+c=0画成_,表示平面区域包括这一边界 直线;若把直线画成虚线,则表示平面区域_这一边界直线.ax+by+c=0 平面区域 ax+by+c0为例).(1)“以线定界”,即画二元一次方程ax+by+c=0表示的直线定边界,其中要注意实线或虚线;(2)“以点定域”,由于对在直线ax+by+c=0同侧的点,实数ax+by+c的值的符号都相同,故为了确定ax+by+c的符号,可采用取特殊点,如取原点等.2.二元一次不等式组与平面区域的作图 具体步骤如下:(1)画线画出不等式对应方程表示的直线(如果原不等式带等号,则画成实线,否则画成虚线);
3、(2)定侧将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;(3)求“交”在确定了各个不等式所表示的平面区域之后,再求这些区域的公共部分,该公共部分就是不等式组表示的平面区域.【基础小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)不等式yx表示直线y=x左上方的半平面(不含直线).()(2)直线x+y+1=0左下方的半平面(含直线)用不等式x+y+10表示.()(3)点(2,4)在不等式x+2y0不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一区域.()(5)不等式Ax+By+C0与Ax+By+C0表示的平面区域是相同的.()提示:
4、(1).因为直线y=x将坐标平面分为左上方和右下方两个半平面,不等式yx表示直线y=x左上方的半平面(不含直线),不等式y0,那么直线右上方的平面区域用不等式x+y+10表示(含直线),直线左下方的平面区域用不等式x+y+10表示(含直线).(3).由于2+24=101,所以点(2,4)不在不等式x+2y0表示直线x=右侧的平面区域.(5).不等式Ax+By+C0表示的平面区域不包含直线Ax+By+C=0上的点,而Ax+By+C0表示的平面区域则包含直线Ax+By+C=0上的点.122.不等式3x+2y-60表示的平面区域是()【解析】选D.作出直线3x+2y-6=0,代入点(0,0)得3x+
5、2y-6=-60成立,则点 在不等式x-3y+60所表示 的平面区域内.将点 代入x-y+20不成立,则点 不在不等式x-y+20所 表示的平面区域内.所以不等式组 表示的平面区域(阴影部分)为 下图.(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x3y60 xy20，关键能力合作学习 类型一 二元一次不等式(组)与平面区域(直观想象)【题组训练】1.(2020西安高一检测)原点和点(1,1)在直线x+y=2a两侧,则a的取值范围是()A.a1 B.0a1 C.a=0或a=1 D.0a1【解析】选B.直线方程一般式为x+y-2a=0,而原点和点 在直线x+y=2a两侧,则-2a(2-2a)0,解得0
6、a1.(1,1)2.(2020六安高一检测)(x+2y+1)(x-y+4)0表示的平面区域为()【解析】选B.由题得 或 先作出不等式 对应的可行域,是选项B中上面的一部分;再作出 对应的可行域,是选项B中下面的一部分.x2y10,xy40 x2y10 xy40.，x2y10 xy40 ，x2y10 xy40 ，3.画出不等式组 表示的平面区域.xy 10,xy0,x2.【解析】如图所示 不等式表示直线x+y-1=0的上方(包括直线)的平面区域;不等式表示直线x-y=0下方(包括直线)的平面区域;不等式表示直线x=2左方(包括直线)的平面区域.所以,原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部
7、分).【解题策略】画二元一次不等式组表示的平面区域的一般步骤【补偿训练】画出不等式组 所表示的平面区域.【解析】先画出直线2x+y-4=0,由于含有等号,所以画成实线.取直线2x+y-4=0左下方的区域的点(0,0),由于20+0-42y表示直线x=2y右下方的区域,不等式y0表示x轴及其上 方的区域.取三个区域的公共部分,就是上述不等式组所表示的平面区域,如图 所示.2xy40 x2yy0，类型二 二元一次不等式组表示平面区域的面积(数学运算)角度1 求平面区域的面积 【典例】(2020重庆高一检测)不等式组 表示的平面区域的面积 为 .【思路导引】由题画出平面区域,进而求得面积即可.y0,
8、xy20,2xy20【解析】作出平面区域如图所示:所以面积S=32=3.答案:3 12【变式探究】(2020安阳高一检测)在平面直角坐标系中,不等式组 表示的平面 区域的面积是 .y0,x3y4,3xy4【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,平面区域为一个三角 形及其内部,三个顶点的坐标分别为 所以平面区域的面积为 S=答案:4(4,0)(,0)(1,1)3，144(4)1.233 43 角度2 由平面区域的面积求参数值 【典例】若不等式组 所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相 等的两部分,则k的值是()【思路导引】注意直线y=kx+平分平面图形的面积,由平面图形的形状以及
9、直线过三角形的一个顶点,所以该直线还应过另一个边的中点.x0,x3y4,3xy4 437343A.B.C.D.373443【解析】选A.不等式组 表示的平面区域如图所示.x0,x3y4,3xy4 由于直线y=kx+过定点 .因此只有直线过AB的中点时,直线y=kx+能平 分平面区域.因为A(1,1),B(0,4),所以AB的中点坐标为 .当y=kx+过点 时,所以k=.434(0,)3431 5(,)2 2431 5(,)2 25k4223 73【解题策略】与平面区域有关的计算方法(1)画出不等式组表示的平面区域,并计算端点的坐标.(2)根据平面区域的形状特点,选择合适的公式计算线段的长度、图
10、形的面积,不规则的图形可用分割法求其面积.(3)注意转化思想方法的应用,如把最大、最小问题转化为两点间的距离,点到直线的距离等.【题组训练】1.不等式组 所表示的平面区域的面积是 .【解析】如图所示,其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域.由 得A(1,3).x2y 102xy50yx2 ，xy202xy50，同理得B(-1,1),C(3,-1).因为|AC|=,而点B到直线2x+y-5=0的距离为d=,所以SABC=|AC|d=2 =6.答案:6 22242 5（）2 1 5655 12125652.(2020泸州高一检测)不等式组 表示的平面区域的面积为()A.36 B.36 C.72
11、 D.72 xy60,xy0,x3 22【解析】选A.不等式组 表示的平面区域为直角三角形ABC及其内部 的部分,联立 解得 可得点A ,同理可得B ,C ,=12,点A到直线x=3的距离为d=6,xy60 xy0 x3 ，xy60 xy0，x3y3，(3,3)(3,3)(3,9)22|BC|(33)(39)|3 3|ABC的面积为SABC=126=36.因此不等式组 表示的平面区域的面积为36.11|BC|d22xy60 xy0 x3 ，3.(2020九江高一检测)已知不等式组 表示面积为1的直角三角形 区域,则实数k的取值范围为()A.1 B.-1 C.0 D.-2 x1,xy40,kxy
12、0【解析】选A.作不等式组 所表示的可行域如图所示,由于直线x=1 与直线x+y-4=0不垂直,因此直线kx-y=0与直线x=1或直线x+y-4=0垂直.若直线 kx-y=0与直线x=1垂直,则k=0,直线kx-y=0为x轴,此时可行域为腰长为3的等腰 直角三角形,此时三角形的面积为 ;若直线kx-y=0与直线x+y-4=0垂直,则 k=1,此时,直线x-y=0与直线x=1与直线x+y-4=0分别交于点 与点 ,则可 行域是腰长为 的等腰直角三角形,此时可行域的面积为 =1.x1,xy40,kxy0 92(1,1)(2,2)221(2)2【补偿训练】(2020焦作高一检测)若A为不等式组表示的
13、平面区域,则当a从-2连续 变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的部分区域的面积为()A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75 x0y0yx2 ，【解析】选D.如图,不等式组 表示的平面区域是AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1,知ADC是斜边为3的等 腰直角三角形,EOC是直角边为1的等腰直角三角形,所求区域的面积为S阴影=SADC-SEOC=1.75.x0y0yx2 ，131731 12224 类型三 用二元一次不等式组表示实际问题(数学建模)【典例】某人上午7:00乘汽车以v1千米/时(30v1100)匀速从A地出发到距离300 km的B地,在B地
14、不停留,然后骑摩托车以v2千米/时(4v220)匀速从B地出发到距离50 km的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x,y小时,则在xOy坐标系中,满足上述条件的x,y的范围阴影部分如图表示正确的是()【思路导引】先将实际问题,转化为二元一次不等式与平面区域问题,再画出图形即可得出答案.【解析】选B.由题可得,v1=,v2=.所以 即 作图得B.300 x50y30030100 x50420y9xy14xy0，3x10525y229xy14xy0，【解题策略】平面区域表示实际问题相关量取值范围的基本方法(1)用字母表示量:根据问题的需要选取两个起关
15、键作用的关联较多的量,用字母表示.(2)用不等式表示不等关系:把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来.(3)用区域表示不等式(组):把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.【跟踪训练】某厂使用两种零件A,B装配甲、乙两种产品,该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件,每月生产乙产品最多1 200件,而且装一件甲产品需要4个A,6个B,装一件乙产品需要6个A,8个B.某月,该厂能用的A最多有14 000个,B最多有12 000个,用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来,并画出相应的平面区域.【解析】设甲、乙两种产品产量分别为x,y件,由题意得二元一次不等式组 在平面直角
16、坐标系中,画出不等式组表示的平面区域,如图 阴影部分所示.0 x2 500,0y1 200,2x3y7 000,3x4y6 000.1.已知点(1,0)与(2,5)位于mx+y-1=0异侧,则m的取值范围是()A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-1,+)D.(-,2)【解析】选A.若点(1,0)与(2,5)位于mx+y-1=0异侧,将两点分别代入直线方程 中,则 0,即 0,所以-2m0,于是2x-y+20表示直线2x-y+2=0右下方的平面区域,再结合所给图形,可知C符合.3.(教材二次开发:习题改编)直角坐标系内的一动点,运动时该点坐标满足不等式xy,则这个动点的运动区域(用阴影表示)
17、是()【解析】选A.由题意可知,x x+5,即5x-2y+100.答案:5x-2y+100 52525.在平面直角坐标系中,求不等式组 表示的平面区域面积.【解析】如图所示,不等式组表示的平面区域为ABC边界及其内部的部分.由 可得A(1,5),同理可得B(-2,2),C(1,-1),故AC=6,ABC中AC边上的 高h=3,所以SABC=ACh=9.xy0,xy40,x1 x1xy40，12课时素养评价 二十一 二元一次不等式(组)与平面区域【基础通关】(20分钟 35分)1.(2020深圳高一检测)已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则实数 a的取值范围是()A.
18、a24 B.a=7或a=24 C.-24a7 D.-7a24【解析】选D.因为点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,所以两点对应式子3x-2y+a的符号相反,即(9-2+a)(-12-12+a)0,即(a+7)(a-24)0,解得-7a24.2.(2020绍兴高一检测)若点A(2,0),B(a,4)在直线y=3x+7的两侧,则a的取值 范围是()A.a-1 C.a19 D.a19【解析】选A.因为点A(2,0),B(a,4)在直线y=3x+7的两侧,所以(23+7)(3a-4+7)0,即3a+30,解得a-1.3.不等式组 表示的平面区域内整点的个数是()A.2个 B.4个
19、 C.6个 D.8个 4x3y12xy1y0 ，【解析】选C.画出可行域后,可按x=0,x=1,x=2,x=3分类代入检验,符合要求的点有(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0)共6个.4.不等式组 所表示的平面区域的面积是 .4x3y1202xy40y0，【解析】不等式组 所表示的平面区域如图阴影部分所示,它是一 个底边长为5,高为4的三角形区域(含边界),其面积S=54=10.答案:10 4x3y1202xy40y0，125.若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则实数a的取值范围 是 .xy50ya0 x2 ，【解析】如图,当直线y=a介于直线y=5(含该
20、直线)与直线y=7(不含该直线)之间时,符合题意.所以5a7.答案:5a7 6.画出不等式|x|+|y|1表示的平面区域,并求区域面积.【解析】不等式|x|+|y|1等价于 x0,x0,y0,y0,xy1,xy1,x0,x0,y0,y0,xy1,xy1.或或或上述四个不等式组表示的平面区域合起来就是不等式|x|+|y|1所表示的平 面区域,如图阴影部分所示.因为表示的区域是边长为 的正方形.所以面积为2.2【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.不等式组 表示的平面区域是()A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形 xy3xy03x32（）（），【解析】选
21、B.不等式组 那么利用不等式(组)表示的区域可知,得到的区域为三角形.xy3xy03x32（）（），xy30 xy3033x3x322xy0 xy0，或，2.(2020桂林高一检测)在区域=中,若满足ax+y0的区域 面积占 面积的 ,则实数a的值为()x0(x,y)xy1xy1 132112A B C D3223【解析】选C.根据题意,区域为如图所示的三角形ABC,则三角形ABC为等腰直 角三角形,所以BAC=45,因为直线ax+y=0过(0,0),结合图形可知a0的区域面积占面积的 ,所以满足ax+y0的区域为图中阴影三 角形AOD,设D点坐标为(x,1-x),满足ax+y0的区域面积占面
22、积的 ,即三角 形AOD的面积为三角形ABC面积的 ,21=AOADsin 45,131313131212即 ,解得x=,又点D在直线ax+y=0上,所以a =0,解得a=-.221121x1x1322 232133123.已知点(a,2a-1)既在直线y=3x-6的上方,又在y轴的右侧,则a的取值范围 是()A.(2,+)B.(5,+)C.(0,2)D.(0,5)【解析】选D.因为(a,2a-1)在直线y=3x-6的上方,所以3a-6-(2a-1)0,即a0.所以0a0表示的平面区域内,则点P的横坐标是()A.7或-3 B.7 C.-3 D.-7或3【解析】选B.把(a,3)代入2x+y-3
23、0,得2a+3-30,得a0,点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,则 =4,得a=-3或a=7,所以a=7.【光速解题】将选项中的值代入验证,即可快速得到答案.22|4a91|34二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点M(a,2a-1)在不等式组 所确定的平面区域之外,则a的取值 范围是 .xy0 xy0 x4，【解题指南】作出题目中不等式组表示的平面区域,得出如图的阴影部分,根据题意列出不等式组求解即可.【解析】不等式组所表示的平面区域如图:根据题意可得若点M(a,2a-1)在平面区域之内,则 解得 a1,所以若点M在平面区域之外,则a1.答案:(1,+)0a4a2a1a
24、 ，13131(,)37.(2020保定高一检测)设不等式组 所表示的平面区域为D.若直线 y=a(x+1)与D有公共点,则实数a的取值范围是 .x0 x3y43xy4，【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图所示,直线y=a(x+1)过定点 P(-1,0),由图可知akBP,kAP,而A(0,4),B(1,1),所以a .答案:1,421,428.不等式组所表示的平面区域的面积为 .22y2xy0，【解析】不等式组 即为 则不等式组 所表示的平面区域由不等式组 和 所表示的平面区域合并而成,如图所示:2y2(xy)(xy)0，2y2xy0 xy0 ，2y2xy0 xy0 ，22y2xy0，2
25、2y2xy0，平面区域为两个全等的等腰直角三角形,且腰长为2 ,因此,所求平面区域的 面积为S=2 =8.答案:8 21(2 2)2 2三、解答题(每小题10分,共20分)9.投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米;投资生产B产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,用数学关系式和图形表示上述要求.【解析】设生产A产品x百吨,生产B产品y百米,则 用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图所示(阴 影部分).2x3y142xy9x0y0，10.(2020深圳高一检测)已知点P(x,y)在不等式组 表示的平面区域上运动,求点P运动轨迹的面积.xy5xy0,0 x3【解析】先画出不等式组 表示的平面区域如图所示,平面 区域是梯形ABCO(包括边界),即是点P的运动轨迹.可得A(0,5),B(3,8),C(3,-3)所以S梯形ABCO=(5+11)3=24.xy5xy0,0 x3 12
