1、数学试卷一、选择题（每题4分，共100分）1.已知向量，若，则与的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据求出，再证明，即得与的夹角.【详解】因为，则，所以，所以，则，故与的夹角为.故选：C.【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.在中，交于点F，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】三点共线，进而将用表示，同理利用三点共线，又将用表示，根据向量基本定理建立等量关系，即可求解.【详解】由题意可知三点共线，三点共线，解得，.故选：D.【点睛】本题考查向量基本定理，向量共线的充要条件应用
2、，以及向量减法的几何表示是解题的关键，属于中档题.3.已知，且，则向量在向量上的投影等于（ ）A. -4B. 4C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据公式，向量在向量上的投影等于，计算求得结果.【详解】向量在向量上的投影等于.故选A.【点睛】本题考查了向量的投影公式，只需记住公式代入即可，属于基础题型.4.已知非零向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为，所以=0，所以，所以=，
3、所以与的夹角为，故选B【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为5.在等腰直角中，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以中点为坐标原点，所在直线轴建立直角坐标系，得到坐标，由已知为中点，确定点坐标，进而求出，即可求出结论.【详解】设的中点为O，连接，以所在直线轴，所在直线y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为是等腰直角三角形，所以，又，所以，则，,由可得E为的中点，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，建立适当的坐标系是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
4、6.已知，将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则的值可以是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的数量积的坐标表示可得，再由三角函数的平移规则及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为，所以，将其图象向右平移个单位长度，得的图象，此时图象关于轴对称，所以，解得取，得，故选：A【点睛】本题考查平面向量的数量积及三角函数的性质，属于基础题.7.已知向量，则与( ).A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向【答案】A【解析】【分析】通过计算两个向量的数量积，然后再判断两个向量能否写成的形式，这样可以选出正确答案.【详解】因为，所以，而不存
5、在实数，使成立，因此与不共线，故本题选A.【点睛】本题考查了两个平面向量垂直的判断，考查了平面向量共线的判断，考查了数学运算能力.8.如图，已知G是的重心，H是BG的中点，且，则( )A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】设D是的边BC的中点，连接GD，可得三点共线，则，又，最后根据平面向量的数量积的运算律计算可得；【详解】解：设D是的边BC的中点，连接GD，因为G是的重心，所以三点共线，.又H是BG的中点，所以，则，故选：A.【点睛】本题考查平面向量的数量积及线性运算，属于中档题.9.已知非零向量满足，.若，则实数t的值为( )A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析
6、】根据垂直的向量数量积为0，结合平面向量的数量积公式求解即可.【详解】由，得，解得.故选：C【点睛】本题主要考查了数量积的基本运算以及垂直的数量积表示，属于基础题.10.已知非零向量满足与的夹角为，若，则( )A. 1B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】根据垂直的向量数量积为0，再结合数量积的计算公式求解即可.【详解】，.又与的夹角为，解得.故选：D.【点睛】本题主要考查了数量积的计算运用，属于基础题.11.若点M是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将已知条件中的转化为，然后然后化简得，由此求得两个三角形高的比值，从而求
7、得面积的比值.【详解】如图，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故ABM与ABC同底且高的比为35，故SABMSABC=35.所以选C.【点睛】本小题考查平面向量的线性运算，考查三角形面积的比值的求法，属于基础题.12.P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（ ）A. 内部B. 边所在直线上C. 边所在直线上D. 边所在直线上【答案】B【解析】【分析】由知道，即可选出答案。，【详解】根据题意，点P在边所在直线上，故选B.【点睛】本题考查向量的运算，属于基础题。13.(2016高考新课标III，理3)已知向量 , 则ABC=A. 30B. 45C. 60D. 1
8、20【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A【考点】向量的夹角公式【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题14.设非零向量，满足，则（ ）A. B. C. /D. 【答案】A【解析】【分析】根据与的几何意义可以判断.【详解】由的几何意义知，以向量，为邻边的平行四边形为矩形，所以.故选：A.【点睛】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.15.已知O为内一点，若分别满足；(其中为中，角所对边).则O
9、依次是的( )A. 内心、重心、垂心、外心B. 外心、垂心、重心、内心C. 外心、内心、重心、垂心D. 内心、垂心、外心、重心【答案】B【解析】【分析】对，易得点O到点的距离相等即可判断.对，根据向量的数量积运算可求得， ，即可判断.对，根据重心的性质与数量积的运算判断即可.对，根据平面向量的线性运算可得，进而可知在三个角的角平分线上即可证明.【详解】对于，因为，所以点O到点的距离相等，即点O为的外心;对于，因为，所以，所以，即，同理，即点O为的垂心;对于，因为，所以，设D为的中点，则，即点O为的重心;对于，因为，故，整理得.又，所以.因为分别为，方向的单位向量，故与的角平分线共线.同理与的角
10、平分线共线，与的角平分线共线.故点O为的内心.故选：B【点睛】本题主要考查了根据根据平面向量的关系分析三角形四心的问题，需要根据题意结合四心的性质，利用平面向量的运算以及性质求证.属于中档题.16.已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出向量，得到，进而可求出结果.【详解】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，所以，所以，当时，所求的最小值为.故选：B【点睛】本题主要考查求向量数量积的最值，通过建系的方法处理，熟记向量数量积的坐标运算
11、即可，属于常考题型.17.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数满足A. B. C. 且D. 且【答案】C【解析】【详解】由题意知，向量，且与的夹角为锐角，则根据向量的数量积可知，而,则，同时不能共线且同向，则，据此可得且，本题选择C选项.点睛：向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题18.已知中，则的形状为( )A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算法则可得,可得，即，得到答案【详解】根据向量的运算法则可得,所
12、以，所以，所以为直角三角形，故选B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及三角形形状的判定问题，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理化简、运算得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题19.在中，已知，的面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：,所以，所以，故选A.考点：1.三角形面积公式；2.向量的数量积；3.三角函数的平方关系.20.已知点，则与向量共线的单位向量为( )A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】首先求出，再结合选项即可得到答案.【详解】由题意知，点，则向量，所以与共线的单位向量为或.故选：C.【点睛】本题主要考查平面
13、向量平行的坐标表示，属于简单题.21.在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，则外接圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由余弦定理及三角形面积公式可得和，结合条件，可得，进而得，由正弦定理可得结果【详解】由余弦定理得，所以又，所以有，即，所以，由正弦定理得，得所以外接圆的面积为答案选D【点睛】解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活选择，它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依据，把正、余弦定理，三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路22.已知A
14、BC中，内角A，B，C的对边分别为，b，c，若2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为()A. B. 1C. D. 2【答案】C【解析】分析】由余弦定理求解，得到，进而利用三角形的面积公式，即可求得三角形的面积.详解】由题意，由余弦定理可得，又，的面积为，故选C.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到23.在中，分别为角的对边，若的面积为，则的值为（ ）A
15、. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理24.在中， ，那么这样的三角形有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】首先画出图形，根据题意算出，得到，即可得到三角形有个【详解】如图所示：，因， ，所以，如上图所示，故这样的三角形有个.故选：C【点睛】本题主要考查根据正弦定理判断三角形个数，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.25.如图，测量员在水平线上点处测量得一塔塔顶仰角为，当他前进10m到达点处测塔顶仰角为,则塔高为：A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先
16、根据直角三角形表示BD，CD,再根据BC=10列方程求高.详解：设塔高为 ，因为点处测量得一塔塔顶仰角为，点处测塔顶仰角为,所以 因为BC=10，所以 选C.点睛：本题考查仰角等基本概念，考查基本求解能力.第卷（非选择题）二、解答题（每题10分，共20分）26.在中，（）求角的大小；（）若，求的值【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到消去公因式得到所以 进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到解析：（I）因为，所以，由正弦定理，得 又因为 ，所以 又因为 ， 所以 （II）由，得，由余弦定理，得，即，因为，解得 .因为 ，所以 .27.在中，角所对的边分别为，且满足.（1）如，求a；（2）若，求外接圆的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到， 再由两角和的正弦公式得到，从而得到，再结合求解。（2）结合（1），结合，得到，再利用余弦定理结合，求得，然后由正弦定理求得，再代入圆的面积公式求解。【详解】（1）因为，即，得， 所以.因为，所以，解得，所以，又，由正弦定理，得，所以.（2）由（1）知，所以，所以，又，所以由正弦定理可得，解得所以外接圆的面积【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理在解三角形的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
