1、第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 学 习 目 标核 心 素 养 1理解椭圆的定义及椭圆的标准方程(重点)2掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1通过椭圆定义的学习，培养学生的数学直观想象的素养.2借助椭圆标准方程的推导，培养数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1椭圆的定义 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于的点的轨迹叫做椭圆，这叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距常数(大于|F1F2|)两焦点间的距离两个定点思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F
2、2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？提示(1)点的轨迹是线段 F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在 2椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程_y2a2x2b21(ab0)焦点(c,0)与(c,0)_与_ a，b，c 的关系c2_x2a2y2b21(ab0)(0，c)(0，c)a2b21下列说法中正确的是()A到点 M(3,0)，N(3,0)的距离之和等于 4 的点的轨迹是椭圆B到点 M(0，3)，N(0,3)的距离之和等于 6 的点的轨迹是
3、椭圆C到点 M(3,0)，N(3,0)的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆D到点 M(0，3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆C 结合椭圆的定义可知选项 C 满足椭圆的定义，故选 C2已知椭圆x2my2161 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，到另一焦点距离为 7，则 m 等于()A10 B5C15D25D 由题意知 2a3710，a5，ma225.3椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0，8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为()A x2100y2361B y2400 x23361C y2100 x2361Dy220 x2121C 由
4、题意知 c8,2a20，a10，b2a2c236，又焦点在 y 轴上，故椭圆的方程为 y2100 x2361.合 作 探 究 释 疑 难 求椭圆的标准方程【例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点 A(3，2)和点 B(2 3，1)解(1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)a5，c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为x225y291.(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为y2a2x2b2
5、1(ab0)a2，b1.故所求椭圆的标准方程为y24x21.(3)法一：当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)依题意有 32a2 22b21，2 32a2 1b21，解得a215，b25.故所求椭圆的标准方程为x215y251.当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)依题意有22a2 32b2 1，1a22 32b21，解得a25，b215，因为 ab0，所以无解 所以所求椭圆的标准方程为x215y251.法二：设所求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有3m4n1，12mn1，解得m 115，n15.所以所求椭圆的
6、标准方程为x215y251.1利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求 a，b，c 的等量关系；(4)求 a，b 的值，代入所设方程 2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为 mx2ny21(mn，m0，n0)因为它包括焦点在 x 轴上(mn)或焦点在 y 轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化运算跟进训练1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a4，c3，焦点在 y 轴上；(2)ab8，c4；(3)经过两点(2，2)，1，142.解(1)焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)，则 a216，b2a2c21697.椭圆
7、的标准方程为y216x271.(2)ab8，a2b216，ab8，abab16，ab8，ab2，a5，b3.椭圆的标准方程为x225y291 或y225x291.(3)法一(分类讨论法)若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由已知条件得 4a2 2b21，1a2 144b21，解得a28，b24.所以所求椭圆的标准方程为x28y241.若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由已知条件得 4b2 2a21，1b2 144a21，解得b28，a24.则 a2b0 矛盾，舍去 综上，所求椭圆的标准方程为x28y241.法二(待定系数法)设椭圆的
8、一般方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，2)，1，142 代入，得4A2B1，A144 B1，解得A18，B14，所以所求椭圆的标准方程为x28y241.椭圆的定义及其应用【例 2】(1)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1，0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为()Ax22y21 Bx23y221Cx24y231Dx25y241(2)已知椭圆x24y231 中，点 P 是椭圆上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2 的面积为_思路点拨(1)椭圆定义 列方程 求a，b 余弦
9、定理(2)椭圆定义和余弦定理建立关于|PF1|，|PF2|的方程联立求解|PF1|求三角形的面积(1)B(2)3 35 (2)由x24y231，可知 a2，b 3，所以 c a2b21，从而|F1F2|2c2.在 PF1F2 中，由 余 弦 定 理 得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2 2|PF1|F1F2|cosPF1F2，即|PF2|2|PF1|242|PF1|由椭圆定义得|PF1|PF2|2a4 由联立可得|PF1|65.所以 SPF1F212|PF1|F1F2|sinPF1F212652 32 3 35.1椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点
10、 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.2椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2 构成的PF1F2，称为焦点三角形在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|MF2|2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解跟进训练2已知椭圆的方程为x2a2y2251(a5)，它的两个焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|8，弦 AB 过点 F1，则ABF2 的周长为()A10 B20C2 41D4 41D a5，椭圆的焦点在 x 轴上又 c4，a22542，a 41.由椭圆的定义知ABF2 的周
11、长|BA|F2B|F2A|BF1|BF2|AF1|AF2|4a4 41.故选 D 与椭圆有关的轨迹问题 探究问题1如图所示，在圆 x2y24 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足当点 P在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？如何求其方程？提示：线段 PD 的中点 M 的轨迹是椭圆 设 M(x，y)，易知 P(x,2y)，所以 x24y24，即x24y21.2如图所示，P 为圆 B：(x2)2y236 上一动点，点 A 的坐标为(2,0)，线段 AP 的垂直平分线交直线 BP 于点 Q，则点 Q 的轨迹是什么？提示：连接 AQ(图略)，易知|AQ|PQ|，
12、又|BQ|PQ|BP|6，|QA|QB|6|AB|4，点 Q 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆【例 3】(1)已知 P 是椭圆x24y281 上一动点，O 为坐标原点，则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为_(2)一个动圆与圆 Q1：(x3)2y21 外切，与圆 Q2：(x3)2y281 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程思路点拨(1)点 Q 为 OP 的中点点 Q 与点 P 的坐标关系代入法求解(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹(1)x2y221 设 Q(x，y)，P(x0，y0)，由点 Q 是线段 OP 的中点知 x02x，y02y，又x204y2081.所以2x24
13、 2y28 1，即 x2y221.(2)解 由已知，得两定圆的圆心和半径分别为 Q1(3，0)，r11；Q2(3,0)，r29.设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，如图 由题设有|MQ1|1r，|MQ2|9r，所以|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6.由椭圆的定义，知点 M 在以 Q1，Q2 为焦点的椭圆上，且 a5，c3.所以 b2a2c225916，故动圆圆心的轨迹方程为x225y2161.解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法1定义法 用定义法求椭圆方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.2相关点法 有些问题中的动点轨
14、迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.跟进训练3如图，设点 A，B 的坐标分别为(2,0)，(2,0)，直线 AM，BM相交于点 M，且它们的斜率之积是34，求点 M 的轨迹方程解 设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 A 的坐标是(2,0)，所以直线 AM 的斜率 kAM yx2(x2)；同理，直线 BM 的斜率 kBM yx2(x2)由已知得 yx2 yx234(x2)，化简，得点 M 的轨迹方程为x24y231(x2).课 堂 小 结 提 素 养 1平面内到两定点 F1，F2 的距离之
15、和为常数，即|MF1|MF2|2a，当 2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当 2a|F1F2|时，轨迹是一条线段 F1F2；当 2a0，B0，AB)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的1若椭圆的两焦点为(2,0)，(2,0)，且该椭圆过点52，32，则该椭圆的方程是()Ay28x241By210 x261Cy24x281Dy26x2101D 椭圆的两个焦点为(2,0)，(2,0)，c2，又椭圆过点52，32，2a5222320252223202 2 10.a 10.b2a2c26，椭圆方程为x210y261.2已知椭圆 4x2ky24 的一个焦点坐标是(0,1)，则实数 k 的值是()A1
16、B2 C3 D4B 椭圆方程可化为 x2y24k1，由题意知4k1，4k11，解得 k2.3已知椭圆x249y2241 上一点 P 与椭圆两焦点 F1，F2 的连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_.48 由题意知|PF1|PF2|14|PF1|2|PF2|2100 2得 2|PF1|PF2|96.所以|PF1|PF2|48.4已知 B，C 是两个定点，|BC|8，且ABC 的周长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程解 以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系 xOy.如图所示 由|BC|8，可知点 B(4,0)，C(4,0)由|AB|AC|BC|18.得|AB|AC|10，点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 2a10，但点 A 不在 x 轴上 由 a5，c4，得 b2a2c225169.点 A 的轨迹方程为x225y291(y0)点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
