1、第十一节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性 【知识梳理】函数的单调性与导数的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导:(1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内_;(2)若f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件.(2)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f(x)=0不恒成立).【小题快练】链接教材 练一练 1.(选修1-1P91例1改编)如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象,则下列判断中正确的是()A.函数f(x)在区间(-3,0)上是减函数 B.函数f(x)在区间(
2、-3,2)上是减函数 C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D.函数f(x)在区间(-3,2)上是单调函数【解析】选A.当x(-3,0)时,f(x)0,则f(x)在(-3,0)上是减函数.其他判断均不正确.2.(选修1-1P93练习T1(2)改编)函数 的单 调递减区间为()A.(-1,1 B.(0,1 C.1，+)D.(0，+)【解析】选B.由题意知函数的定义域为(0，+)，又由y=0，解得00)的单调递增区间是()A.(-，-1)B.(-1,1)C.(1，+)D.(-，-1)或(1，+)2axx1【解析】选B.函数f(x)的定义域为R，f(x)=由于a0，要使f(x)0，只需(1-x
3、)(1+x)0，解得x(-1,1).222a(1x)(x1)22a(1x)(1x).(x1)4.(2016聊城模拟)已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数).则下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()【解析】选C.由条件可知当0 x1时,xf(x)0,所以f(x)1时,xf(x)0,所以f(x)0,函数递增,所以当x=1时,函数取得极小值.当x-1时,xf(x)0,函数递增,当-1x0,所以f(x)0求出递增区间,令f(x)0两种情况来讨论.【规范解答】(1)选B.因为f(x)=sin2x=(1-cos2x)在(0,+)上有增有减,所以A不正确;因为f(x
4、)=xex的导函数f(x)=ex(x+1),当x0时,f(x)0恒成立,所以它在(0,+)上是增函数,所以B正确;12因为f(x)=x3-x的导函数f(x)=3x2-1在(0,+)上不恒大于0,所以它在(0,+)先减后增,所以C不正确;因为f(x)=-lnx的导函数f(x)=-在(0,+)恒小于0,所以它在(0,+)上是减函数,所以D不正确.1x(2)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-a.若a0,则f(x)0恒成立,所以f(x)在(0,+)上单调递增.若a0,则当x(0,)时,f(x)0;x(,+)时,f(x)0时为增函数;f(x)0时为减函数.易错提醒:研究含参数函数的单调性时,需注
5、意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.【变式训练】(2015重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-处取得极值.(1)确定a的值.(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.43【解析】(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x.因为f(x)在 处取得极值，所以 解得 经检验满足题意.4x3 416416a8f()3a2()0,39333 1a.2(2)由(1)知g(x)=所以 g(x)=令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时，g(x)0,故g(x)为减函数；32x1(xx)e,22x32x31(x2x)e(xx)e2232x15(xx
6、2x)e22x1 x x1x4 e.2当-4x0,故g(x)为增函数；当-1x0时，g(x)0时，g(x)0,故g(x)为增函数；综上知，g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数，在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.【加固训练】(2015四川高考改编题)已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.【解析】由已知，函数的定义域为(0,+)，所以g(x)=f(x)=2(x-1-ln x-a)所以g(x)=当x(0,1)时，g(x)0,g(x)单调递增.22(x1)2,xx考向二 利用导数求函数的单调区间【典例2】(1)
7、已知函数f(x)=ax+lnx,则当a0或 f(x)0求出x的范围.(2)先利用曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直 线 求出a的值，然后再求出单调区间.1yx,2【规范解答】(1)由已知得f(x)的定义域为(0，+).因为f(x)=所以当x 时f(x)0，当0 x0，所以f(x)的单调递增区间为 1a(x)1aaxx，1a1a1(0)a，单调递减区间为 答案：1()a，11(0)()aa，(2)对f(x)求导得f(x)=由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 知f(1)=-2，解得 所以f(x)=则f(x)=令f(x)=0，解得x=-1或x=5，因x=-1不在f(x)的
8、定义域(0，+)内，故舍去 21a14xx，1yx,23a45a.4x53ln x44x2，22x4x54x，当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，+)内为增函数 所以f(x)的单调递增区间为(5,+),单调递减区间为(0，5).【易错警示】解答典例2(2)会出现以下错误:令f(x)=0,解得x=-1或x=5时,忽视函数的定义域而未舍去x=-1.【规律方法】求函数的单调区间的“两种”方法 方法一:(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求导数f(x).(3)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f(x)0,即(-x2+2)ex0,因为ex0,所以-x
9、2+20,解得-x0,即a-时,令f(x)=0,得x2+x-a=0,解得x1=0,x2=()若-0,所以函数f(x)在(0,+)上单调递增.14114a2 114a.2 14114a2()若a0,则x(0,)时,f(x)0,所以函数f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+)上单调递增.114a2 114a2 114a2 114a2 综上所述,当a0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+);当a0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+).114a2 114a2(2)由题意知,f(x)0在(1,+)上恒成立,即x2+x-a0在(1,+)上恒成立,令g(x)=x2+x
10、-a=(x+)2-a,则g(x)2-a,从而2-a0,所以a2.当a=2时,f(x)0在(1,+)上恒成立,因此实数a的取值范围是(-,2.12142.(2015江苏高考改编)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,bR).求函数f(x)的单调区间.【解析】f(x)=3x2+2ax=令f(x)=0，得x=0或 当a0，得x0或 令f(x)0时，令f(x)0,得 或x0;令f(x)0，得 所以f(x)的单调递增区间 是 和(0,+)，单调递减区间是 2xa3 2 ax0.32(,a)3 2(a,0).3综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间是 和(0,+)，单调递减区间是 2(a,)3，2(
11、0,a)3；2(,a)3 2(a,0).3考向三 利用导数解决函数的单调性的应用问题【考情快递】命题方向命题视角已知函数单调性求参数的取值范围给出函数在某个区间是递增、递减或是单调不单调,利用导数确定参数的取值范围,属较难题比较大小或解不等式先构造一个函数,用导数研究单调性,再根据该单调性比较大小或解不等式【考题例析】命题方向1:已知函数单调性求参数的取值范围【典例3】(2014全国卷)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2 B.(-,-1 C.2,+)D.1,+)【解题导引】利用函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+)上单调递增等价于f(
12、x)0在(1,+)恒成立求解.【规范解答】选D.因为f(x)在(1,+)上单调递增,所以f(x)0在(1,+)上恒成立,因为f(x)=kx-lnx,所以f(x)=k-0,即k .因为x1,所以 1,所以k1.所以k1,+).1x1x1x【母题变式】1.若本例条件改为“函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+)上单调递减”,求k的取值范围.【解析】因为函数f(x)=kx-lnx,所以f(x)=k-,函数在区间(1,+)上单调递减,则f(x)0在(1,+)上恒成立,即k-0在区间(1,+)上恒成立,故k 在区间(1,+)上恒成立,因为在区间(1,+)上0 0时，令f(x)0,1kx，1kx解得 令
13、f(x)0时，函数的单调递增区间为 单调递减区 间为 1xk，10 xk，1(,)k ；1(0,).k命题方向2：比较大小或解不等式【典例4】(1)(2014 湖南高考)若0 x1x20时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)【解题导引】(1)根据不等式的特点构造函数,再利用导数判断其单调性后再比较大小.(2)构造函数g(x)=,然后对函数g(x)求导,利用单调性确定x的取值范围.f xx选项 具体分析 结论 A 构造函数f(x)=ex-lnx,f(x)=ex-(0 x1),根据e
14、x,(0 x1)的图象 可知f(x)在(0,1)上不单调 错误【规范解答】(1)选C.1x1x选项 具体分析 结论 B 同上 错误 C 构造新函数g(x)=所以g(x)在(0,1)上是减函数，所以g(x1)g(x2),正确 D 同上 错误 xxx2eexe,g(x)xxx2e(x1)0(0 x1)x，12xx12ee,xx21xx12x ex e(2)选A.记函数g(x)=则g(x)=因为当x0时，xf(x)-f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0,+)上单调 递减；f(x)x，2xf(x)f(x)x，又因为函数f(x)(xR)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-,0)上
15、单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0 x0,则f(x)0;当x-1时,g(x)0,综上所述,使得f(x)0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1).【技法感悟】1.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由函数在区间a,b上单调递增(减)可知f(x)0(f(x)0)在区间a,b上恒成立列出不等式.(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题.(3)对等号单独检验,检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0,若f(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f(x)=0,则参数可取这个值.2.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件,构造辅助函数,把比较
16、大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.易错提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.【题组通关】1(2016德州模拟)函数f(x)=在区间-1，2上不单调，则实数a的取值范围是()A.(-,-3 B.(-3,1)C.1,+)D.(-,-31,+)321 xxax53【解析】选B.因为f(x)=所以f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,如果函数f(x)=在区间-1，2上 单调，那么a-10或 解得a1或a-3,于是满足条件
17、的a(-3，1)321 xxax53，321 xxax53f(1)0,f(2)0,2.(2015福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()1111A.f()B.f()kkkk1111kC.f()D.f()k1k1k1k1【解析】选C.因为f(x)k1，构造函数g(x)=f(x)-kx，所以g(x)在R上单调递增，又 所以 即 得到 所以C选项一定错误.A,B,D都有可能正确.10k1，1g()g(0)k1 1kf()1k1k1，11f()k1k1，3.(2016济宁模拟)若函数y=a(x3-x)的单调递减区间 为 则a
18、的取值范围是 .【解析】由y=a(3x2-1)=3a(x-)(x+)0.答案:(0,+)33(,)33，33(,),3333334.(2016秦皇岛模拟)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x,a0.若函数h(x)=f(x)-g(x)在1,4上 单调递减,则a的取值范围为 .12【解析】h(x)=x(0，+)，所以h(x)=因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)=0恒成立，即a 恒成立，令G(x)=则aG(x)max，21ln xax2x2，1ax2.x 1ax2x 212xx212,xx而G(x)=因为x1,4，所以 所以G(x)max=(此时x=4)，所以a 答案：21(1)1.x 111x4，7167.167,)16
