1、2017年山西重点中学协作体高三暑假联考数学(理科)第卷（共55分）一、选择题：本大题共11个小题,每小题5分,共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为( )A B C30 D82.已知，且，则( )A B C D73.设命题，则为( )A， B， C， D，4.根据历年统计资料，我国东部沿海某地区60周岁以上的老年人占，在一个人是60周岁以上的条件下，其患高血压的概率为，则该地区一个人既是60周岁以上又患高血压的概率是( )A B C. D5.已知双曲线的一条渐近线方程为，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，则的值是(
2、)A4 B C. D6.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是( )A1 B2 C.3 D47.在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为“若(其中分别为与斜坐标系的轴、轴同方向的单位微量)，则点的坐标为”.若，且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为( )A B C. D8.若函数的图象关于直线对称，则的最小正值为( )A3 B4 C.5 D69.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A B C. D10.两球和在棱长为1的正方体的内部，且互相外切，若球与过点的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相
3、切，则球和的表面积之和的最小值为( )A B C. D11.已知分别为椭圆的左、右顶点，不同两点在椭圆上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为( )A B C. D第卷（共95分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）12.设是定义在上的偶函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.13.如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围 14.在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积为5，直线过该平面区域，则的最大值是 15.在中，分别为的对边，若，且，则 三、解答题 （共7
4、5分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数构成等差数列，是的前项和，且，.(1)若数阵中从第3行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值；(2)设，当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围.17.如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.18.已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百元元)如下面的折线图所示：(1)试问这3年的前7个月中哪个月的平均利润最高？(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；(3)试以第
5、3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.月份1234利润(单位：百万元)4466相关公式：，.19.已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.(1)求椭圆的方程；(2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.20. 已知(为自然对数的底数).(1)若在处的切线过点，求实数的值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.21.已知在一个极坐标系中，点的极坐标为.(1)求出以为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形.(2)在直角坐标系中，以圆所在极坐标系的极点为原点，极轴
6、为轴的正半轴建立直角坐标系，点是圆上任意一点，是线段的中点，当点在圆上运动时，求点的轨迹的普通方程.22.已知，其中，.(1)若，求不等式的解集；(2)若是，1中最大的一个，妆时，求证：.2017年山西重点中学协作体高三暑假联考数学(理科)试题部分参考答案一、选择题1-5:BBBCC 6-10:BDCDA 11:D二、填空题12.13. 14. 15.三、解答题16.解：(1)设等差数列的公差为，.，设从第3行起，每行的公比都是，且，.，故是数阵中第10行的第5个数.故.(2)，；令，则当时，在上为减函数，为递减数列，的最大值为.不等式变为恒成立，设，则，即，解得或.17.解：以点为坐标原点，
7、建立如图所示的空间直角坐标系，则，.(1)，则，.(2)易知，设平面的法向量，则，即，令，则是平面的一个法向量，同理可得是平面的一个法向量，由图可知二面角为钝角，二面角的余弦值为.18.(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为(百万元)；第2年前7个月的总利润为(百万元)；第3年前7个月的总利润为(百万元)，这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)，；当时，(百万元)，估计8月份的利润为940百万元.19.(1)由，依题意，是等腰直角三角形，从而，故，所以椭圆的方程是.(2)设，直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得：，若平分，则直线，的倾斜角互
8、补，所以，设，则有，将，代入得，整理得，由于上式对任意实数都成立，所以.综上，存在定点，使平分.20.(1)，又，在处的切线方程为，把点代入，解得.(2)由可得，令，且，存在，使得，且当时，当时，(1)当时，此时，对任意式恒成立；(2)当时，由变形可得，令与同号，且对成立，函数在上为增函数.而，时，函数在上为减函数.，.(3)当时，由变形可得，由(2)可知函数，.综合(1)(2)(3)可得，.21.(1)如图，设圆上任意一点，则或.由余弦定理得：，圆的极坐标方程，作图如下：(2)在直角坐标系中，点的坐标为，可设圆上任意一点，又令，由，是线段的中点，的参数方程为(为参数)点的轨迹的普通方程为.22.(1)由题意可得，去绝对值，化简可得或，且，所以原不等式的解集是.(2)，为，1中最大的，.
