1、 1 综合拔高练 五年高考练 考点 1 函数的概念及表示 1.(2019 江苏,4,5 分,)函数 y=7+6-2的定义域是 .2.(2016 浙江,12,6 分,)设函数 f(x)=x3+3x2+1.已知 a0,且 f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,xR,则实数a=,b=.考点 2 函数的图像 3.(2020 天津,3,5 分,)函数 y=42+1的图像大致为()考点 3 分段函数 4.(2017 山东,9,5 分,)设 f(x)=,0 0,若对任意 x-3,+),f(x)|x|恒成立,则 a 的取值范围是 .考点 4 函数性质的综合应用 8.(2020 新高考,8,5 分,)若定
2、义在 R 的奇函数 f(x)在(-,0)单调递减,且 f(2)=0,则满足 xf(x-1)0的 x 的取值范围是()A.-1,13,+)B.-3,-10,1 C.-1,01,+)D.-1,01,3 9.(2017 课标全国,5,5 分,)函数 f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若 f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1 的 x 的取值范围是()A.-2,2 B.-1,1 C.0,4 D.1,3 10.(2016 山东,9,5 分,)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x12时,f(+12)=f(-12),则 f(6)=()A.-2 B.-1 C.0 D.2 11.(2017 课标全
3、国,14,5 分,)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.12.(2018 中国科技大学自主招生试题,6 改编,)已知定义在(0,+)上的函数 f(x)单射(即如果 x,y(0,+),且 xy,那么 f(x)f(y),对任意的 x0,有 xf(x)1,f(xf(x)-1)=2,当 x0 时,求 f(x)的解析式.3 三年模拟练 应用实践 1.()已知函数 f(x)=(),0,2+1,0 是 R 上的偶函数,则 g(3)=()A.5 B.-5 C.7 D.-7 2.(2021 湖南长沙一中高一上阶段性检测,)已知函数 f(x)在(-
4、,+)上单调递减,且为奇函数,若 f(2)=-1,则满足-1f(x-1)1 的 x 的取值范围为()A.-2,2 B.-1,3 C.1,3 D.-1,1 3.()若奇函数 f(x)在区间2,8上是减函数且最小值为 6,则 f(x)在区间-8,-2上是()A.增函数且最小值为-6 B.增函数且最大值为-6 C.减函数且最小值为-6 D.减函数且最大值为-6 4.(2020 黑龙江哈尔滨三中高一上第一次阶段性验收,)已知函数 f(x)=(+1)2,-1,2+2,-1 1,则实数 a 的取值范围是()A.(-,-2)(-12,+)B.(-12,12)C.(-,-2)(-12,1)D.(-2,-12)
5、(1,+)5.(2021 江西赣州南康中学高一上期末,)历史上第一个给出函数一般定义的是 19 世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet),当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义,数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象,狄利克雷在 1829 年给出了著名函数:f(x)=1,0,Q(其中 Q 为有理数集,Qc为无理数集),狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化,数学的一些“人造”特征开始展现 4 出来,这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地,广义的狄利克雷函数可定义为:D(x)=,Q(其中 a,bR,且 ab),以下对
6、D(x)的说法错误的是()A.D(x)的定义域为 R B.当 ab 时,D(x)的值域为b,a;当 ab 时,D(x)的值域为a,b C.D(x)为偶函数 D.D(x)在实数集的任何区间上都不具有单调性 6.(2019 山东烟台期中,)已知函数 f(x)=1,0,-1,2 的解集是()A.(-3,1)B.(-,-3)C.(-,-3)(1,+)D.(-,-3)1,+)7.()已知函数 f(x)=2+(a,b,c,dR)的图像如图所示,则下列说法与图像符合的是()A.a0,b0,c0 B.a0,c0 C.a0,c0,d0 D.a0,b0,d0 8.()已知定义在 R 上的增函数 f(x)满足 f(
7、-x)+f(x)=0,x1,x2,x3R,且 x1+x20,x2+x30,x3+x10,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值()A.一定大于 0 B.一定小于 0 C.等于 0 D.正负都有可能 9.(多选)(2021 吉林梅河口第五中学高一上月考,)若函数 f(x)在a,b上是增函数,对于任意的 x1,x2a,b(x1x2),下列结论中正确的有()A.f(a)f(x1)f(x2)C.(1)-(2)1-20 D.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 5 10.(2021 上海大同中学高一上期中,)函数 y=(1-)(-2)的单调递减区间是 .11.()已知偶函数 f(x)在0,+)上单调
8、递减,且 f(4)=5,若 f(2x+1)5,则 x 的取值范围是 .12.(2020 河北石家庄二中高一上月考,)已知函数 f(x)=-24,0 4,函数 h(x)(x0)为偶函数,且当x0 时,h(x)=f(x).若 h(t)h(2),则实数 t 的取值范围为 .13.(2018 北京丰台高三一模,)函数 y=f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x0 时,函数 f(x)的图像是由一段抛物线和一条射线组成的(如图所示).(1)当 x-1,1时,y 的取值范围是 ;(2)如果对任意 xa,b(b0 时,f(x)=-x2+bx+c,f(1)=f(3),f(2)=2.(1)求 b,c 的值;(2
9、)求 f(x)在 x0 时的解析式;(3)解不等式 f(x)0时,有 f(x)0.(1)求证:f(x)是 R 上的增函数;(2)求证:f(x)是 R 上的奇函数;(3)若 f(1)=1,解不等式 f(x2)-f(x+2)4.迁移创新 17.()已知函数 f(x)同时满足以下条件:定义域为 R;值域为0,1;f(x)-f(-x)=0.试写出 f(x)的一个函数解析式,f(x)=.18.(2020 山东烟台高一上期中,)经过对函数性质的学习,我们知道“函数 y=f(x)的图像关于 y 轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”.(1)若 f(x)为偶函数,且当 x0 时,f(x)=2x-
10、1,求 f(x)的解析式,并求不等式 f(x)f(2x-1)的解集;(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究,得到一个真命题:“函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”.若函数 g(x)的图像关于直线 x=1 对称,且当 x1 时,g(x)=x2-1.求 g(x)的解析式;7 求不等式 g(x)g(3x-1)的解集.答案全解全析 第三章 函数 3.1 综合拔高练 五年高考练 3.A 4.C 5.C 6.B 8.D 9.D 10.D 1.答案-1,7 解析 要使函数有意义,则 7+6x-x20,解得-1x7,故函数的定义域为-1,7.2.答
11、案-2;1 解析 f(x)-f(a)=x3-a3+3(x2-a2)=(x-a)x2+ax+a2+3(x+a)=(x-a)x2+(a+3)x+a2+3a=(x-a)(x-a)(x-b),则x2+(a+3)x+a2+3a=x2-(a+b)x+ab,即+3=-(+),2+3=,解得=-2,=1.3.A 设 y=f(x)=42+1,易知 f(x)的定义域为 R,f(-x)=-42+1=-f(x),函数 f(x)=42+1是奇函数,y=f(x)的图像关于原点对称,排除 C、D,易知 f(1)=2,排除 B,故选 A.8 4.C 当 a1 时,由 f(a)=f(a+1),得 2(a-1)=2a,无解,所以
12、 0a1.由 f(a)=f(a+1),得=2a,解得a=14(a=0 舍去),则 f(1)=f(4)=2(4-1)=6.5.C 因为 f(x)是定义域为(-,+)上的奇函数,所以 f(0)=0,f(-x)=-f(x),又因为 f(1-x)=f(1+x),所以 f(-x)=f(2+x),由可得 f(2+x)=-f(x),则有 f(4+x)=f(x).由 f(1)=2,得 f(-1)=-2,故令 x=1,得 f(0)=f(2)=0,令 x=2,得 f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,令 x=3,得 f(4)=f(-2)=-f(2)=0,故 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0
13、=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49)+f(50)=120+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.6.B 由题意可知,当 x(0,1时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当 x=12时,f(x)min=-14,且当 x=13时,f(x)=-29.当 x(1,2时,x-1(0,1,则 f(x)=2f(x-1).当 x(-1,0时,x+1(0,1,则 f(x)=12f(x+1).若 x(1,2,则当 x=32时,f(x)min=-12,且 x=43时,f(x)=-49.同理,若 x(2,3,则当 x=52时,f(x)mi
14、n=-1,且 x=73时,f(x)=-89.函数 f(x)的大致图像如图所示.f(x)-89对任意 x(-,m恒成立,当 x(-,m时,f(x)min-89,由图可知 m73.故选 B.7.答案 18a2 解析 当-3x0 时,由 f(x)|x|得 x2+2x+a-2-x,即 a-x2-3x+2,而-x2-3x+2 的最小值为 2,所以 a2.当 x0 时,由 f(x)|x|得-x2+2x-2ax,即 2a-x2+x,而-x2+x 的最大值为14,所以 a18.综上,18a2.9 8.D f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x-1)的图像关于点(1,0)中心对称,又f(x)在(-,0)上单调
15、递减,f(x-1)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图像如图:当-1x0 时,f(x-1)0,xf(x-1)0;当 1x3 时,f(x-1)0,xf(x-1)0.综上,满足 xf(x-1)0 的 x 的取值范围是-1,01,3.故选 D.9.D 已知函数 f(x)在(-,+)上单调递减,且为奇函数,则 f(-1)=-f(1)=1,所以原不等式可化为 f(1)f(x-2)f(-1),则-1x-21,即 1x3,故选 D.10.D 当 x12时,由 f(+12)=f(-12)可得 f(x)=f(x+1),所以 f(6)=f(1),又由
16、题意知 f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以 f(6)=f(1)=2,故选 D.11.答案 12 解析 因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(2)=-f(-2)=-2(-2)3+(-2)2=12.12.解析 由函数 f(x)单射,且 f(xf(x)-1)=2,得 xf(x)-1 是常数,令 xf(x)-1=t(x0),则 f(x)=+1,且f(t)=2,因此 tf(t)-1=t,所以 f(tf(t)-1)=2,由 f(t)=2,得 f(2t-1)=2,由及函数 f(x)单射得 t=2t-1,解得 t=1,所以 f(x)=2(x0).三年模拟练 1.B 2.B 3.D
17、4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.CD 1.B 函数 f(x)=(),0,2+1,0 是 R 上的偶函数,g(3)=f(3)=f(-3)=-6+1=-5,故选 B.2.B 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-2)=-f(2)=1,则-1f(x-1)1 等价于 f(2)f(x-1)f(-2),又 f(x)在(-,+)上单调递减,所以-2x-12,所以-1x3.3.D 由奇函数的图像关于原点对称可知,f(x)在对称区间上单调性相同,函数在2,8上的最小值为 6,则在-8,-2上的最大值为-6,故选 D.4.C 当 a-1 时,由 f(a)=(a+1)21,解得 a0 或 a-2,故 a-
18、2;10 当-1a1,解得 a-12,故-12a1,解得 a2,解得 x1;当 x2,解得 x-3.综上,原不等式的解集为(-,-3)(1,+).故选 C.7.B 由题中图像可知,x1 且 x5,由 ax2+bx+c0,可知方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1=1,x2=5,由根与系数的关系得 x1+x2=-=6,x1x2=5,a,b 异号,a,c 同号,f(0)=0,x1-x2,f(x)在 R 上单调递增,f(x1)f(-x2)=-f(x2),f(x1)+f(x2)0,同理,f(x1)+f(x3)0,f(x2)+f(x3)0,故 f(x1)+f(x2)+f(x3)0,故选 A.9.CD
19、 函数 f(x)在a,b上是增函数,若 ax2x1b,则 f(a)f(x2)f(x1)f(b),A 选项错误;若 x1x2,则 f(x1)f(x2),B 选项错误;若 ax1x2b,则 x1-x20,f(x1)f(x2),则 f(x1)-f(x2)0,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0;若 ax20,f(x1)f(x2),则 f(x1)-f(x2)0,此时(1)-(2)1-20,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,故 C,D 选项都正确.11 10.答案 32,2 解析 解不等式(1-x)(x-2)0,得 1x2,所以函数的定义域为1,2,又二次函数 y=(1-x)(x-2)图像的对称
20、轴为直线 x=32,开口向下,因此函数 y=(1-)(-2)的单调递减区间是32,2.11.答案(-,-52)(32,+)解析 因为 f(x)为偶函数,所以 f(2x+1)=f(|2x+1|),又因为 f(x)在0,+)上单调递减,且 f(4)=5,所以f(2x+1)5 等价于 f(|2x+1|)4,解得 x32,即 x 的取值范围是(-,-52)(32,+).12.答案(-2,0)(0,2)解析 因为当 x0 时,h(x)=f(x),所以当 x0 时,h(x)=-24,0 4,易知函数 h(x)在(0,+)上单调递减,又因为函数 h(x)(x0)为偶函数,且 h(t)h(2),所以 h(|t
21、|)h(2),所以 0|t|2,所以 0,-2 2,即-2t0 或 0t2.13.答案(1)1,2(2)-2 解析(1)由题中图像可知,当 x=0 时,函数在-1,1上的最小值 ymin=1,当 x=1 时,函数在-1,1上的最大值 ymax=2,所以当 x-1,1,函数 y=f(x)的值域为1,2.(2)当 x0,3时,函数 f(x)=-(x-1)2+2,此时若 f(x)=1,解得 x=0 或 x=2;当 x(3,+)时,函数 f(x)=x-5,此时若 f(x)=1,解得 x=6.故在0,+)上,满足 y-2,1的最大范围为2,6.又因为函数为偶函数,图像关于 y 轴对称,所以对于任意 xa
22、,b(b0),要使得 y-2,1,则a,b-6,-2,则实数 b 的最大值是-2.14.解析(1)f(1)=f(3),f(2)=2,-1+=-9+3+,-4+2+=2,解得=4,=-2.(2)设 x0,由(1)知当 x0 时,f(x)=-x2+4x-2,f(-x)=-(-x)2+4(-x)-2,f(x)为奇函数,12 f(-x)=-f(x)=-x2-4x-2,f(x)=x2+4x+2,即当 x0 时,由-x2+4x-2-2 得 x4,又x0,x4;当 x0 时,由 x2+4x+2-2 得(x+2)20,不等式无解.综上,不等式 f(x)4.15.解析(1)因为奇函数 f(x)的定义域为 R,所
23、以 f(0)=0,f(-1)=-f(1).故 f(0)=0-02-0+2=0,解得 m=0,所以 f(x)=22-+2.由 f(-1)=-f(1),得-2(-1)2-(-1)+2=-212-1+2,解得 n=0,所以 f(x)=22+2.经检验,f(x)=22+2是定义在 R 上的奇函数,所以 m=n=0.(2)证明:由(1)知 f(x)=22+2,任取 x1,x2(-2,2),且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=2112+2-2222+2=21(22+2)-22(12+2)(12+2)(22+2)=2(2-1)(12-2)(12+2)(22+2).因为-2x12,-2x22,所以-2x
24、1x22,故 x1x2-20.因为 x10,又因为12+20,22+20,所以 f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2),所以函数 f(x)在(-2,2)上为增函数.(3)因为 f(x)在(-2,2)上为增函数,所以函数 f(x)在-1,1上为增函数,故 f(x)在-1,1上的最大值为 f(1)=23,由题意可得3 23,解得 a2.故实数 a 的取值范围为2,+).13 16.解析(1)证明:任取 x1,x2R,且 x10 时,f(x)0,且 x2-x10,f(x2-x1)0,f(x2)f(x1),即 f(x)是 R 上的增函数.(2)证明:对任意的实数 a,b 都有 f(a+b)
25、=f(a)+f(b),令 a=b=0,则 f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),f(0)=0.令 a=x,b=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,f(-x)=-f(x),即 f(x)是 R 上的奇函数.(3)若 f(1)=1,则 f(2)=2f(1)=2,f(4)=2f(2)=4,不等式 f(x2)-f(x+2)4 等价于 f(x2)-f(x+2)f(4),由(2)知函数 f(x)为奇函数,-f(x+2)=f(-x-2),f(x2)-f(x+2)=f(x2)+f(-x-2),f(x2-x-2)f(4),又由(1)知 f(x)在 R 上单调递增,x2-x-24,即 x
26、2-x-60,x3,原不等式的解集为(-,-2)(3,+).17.答案 2,-1 1,0,1 或 1 或 0,则-x 0.因为 f(x)为偶函数,且 f(x)在0,+)上是减函数,14 所以 f(x)f(2x-1)等价于|x|2x-1|,即 x2(2x-1)2,解得 x1.所以不等式的解集是|1.(2)因为 g(x)的图像关于直线 x=1 对称,所以 y=g(x+1)为偶函数,所以 g(1+x)=g(1-x),即 g(x)=g(2-x)对任意 xR 恒成立.又因为当 x1,所以 g(x)=g(2-x)=(2-x)2-12-=x2-4x+4+1-2,所以 g(x)=2-1,1,2-4+4+1-2,1.任取 x1,x11,+),且 x1x2,则 g(x1)-g(x2)=12-11-(22-12)=(x1-x2)(1+2+112),因为 x1x2,所以 x1-x20,1120,所以(x1-x2)(1+2+112)0,即 g(x1)g(3x-1)等价于|x-1|3x-2|,即(x-1)2(3x-2)2,解得12x34.所以不等式的解集为|12 34.
