1、专题检测（四）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2012江门模拟)如图，正方体ABCDABCD中，M、E是AB的三等分点，G、N是CD的三等分点，F、H分别是BC、MN的中点，则四棱锥AEFGH的侧视图为解析做四棱锥AEFGH在正方体的侧面CDDC上的射影，可得侧视图，故选C.答案C2已知直线a、b是两条异面直线，直线c平行于直线a，则直线c与直线bA一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析若cb，ca，ab，与a，b是异面直线矛盾，故选C.答案C3(2012潍坊二模)已知两条直线a，b与
2、两个平面、，b，则下列命题中正确的是若a，则ab；若ab，则a；若b，则；若，则b.A B C D解析若a，则在内存在aa，又b，ba，ba，故正确；中直线a可能在内，故不正确；因为垂直于同一条直线的两个平面平行，故正确；中b可能在内，故不正确所以选A.答案A4设m、n是平面内的两条不同直线，l1、l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分不必要条件是Al1m，l1n Bml1，ml2Cml1，nl2 Dmn，l1n解析由ml1，ml2，l1、l2是平面内两条相交直线，知m，又m，所以；若，m，则未必有m，未必有ml1，ml2，故选B.答案B5在空间中，a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面
3、，下列命题正确的是A若a，ba，则bB若a，b，a，b，则C若，b，则bD若，a，则a解析A中，由条件可以推出b或b；B中，由条件可以推出或与相交；C中，由条件可以推出b或b.D正确答案D6(2012临汾一中月考)在空间中，给出下面四个命题：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线其中正确的是A B C D解析易知正确；对于，过两点的直线可能与平面相交；对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面故选D.答案
4、D7(2012房山一模)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. B.C. D1解析由三视图可知，该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其高为2，底面为边长是1的正方形，V212.答案B8(2012梅州模拟)一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是解析选项A、B中俯视图所确定的几何体都是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，选项D中俯视图所确定的几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱柱故选C.答案C9将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，则异面直线AB与CD所成的角是A30 B45C60 D90解析如图所示，设正方形ABCD的对角线的交点为O，由ABC
5、D可得，DCD就是异面直线AB与CD所成的角，由DO、OD、OC两两垂直且相等可知DDDCDC，即DCD是等边三角形，则DCD60，故应选C.答案C10(2012宝鸡中学月考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为A. B.C. D.解析由AB1，AC2，BC可得AB2BC2AC2，故ABBC.又由直棱柱的性质可知BB1平面ABC.如图，建立空间直角坐标系，设棱BB1的长为h，则E，A(0,1,0)，C1(，0，h)，D，故.因为BB1平面ABC，所以BB1AB，又因为ABBC，所以AB平面BB1C1
6、C，故(0,1,0)是平面BB1C1C的一个法向量设直线DE与平面BB1C1C所成的角为，则sin |cos，|.又因为，所以.答案A11(2012山西四校模拟)已知三棱锥OABC中，A、B、C三点在以O为球心的球面上，若ABBC1，ABC120，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为A. B16C64 D544解析如图所示，设ABC的外接圆的圆心为O，在ABC中，据余弦定理得AC，由正弦定理得ABC的外接圆的半径rOB1，三棱锥OABC的体积为V11|OO|，|OO|，故球O的半径为OBR4.球O的表面积为S4R264.答案C12(2012广州模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中
7、，M、N、P、Q分别是AA1、A1D1、CC1、BC的中点，给出以下四个结论：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C与PM相交；NC与PM异面其中不正确的结论是A BC D解析如图所示，AD1A1D，AD1DC，AD1平面A1DC，AD1A1C.又AD1MN，A1CMN，故正确；在矩形ACC1A1中，易得A1C与PM相交，故正确又PM平面MNPQ，A1C与平面MNPQ相交，故错误易知N平面MNPQ，C平面MNPQ，PM平面MNPQ，NPM，NC与PM异面，故正确，所以选B.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中的横线上)13(2012深圳模拟)某机器零件的俯视图是
8、直径为24 mm的圆(包括圆心)，主视图和侧视图完全相同，如图所示则该机器零件的体积是_mm3(结果保留)解析由几何体的三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个同底的圆锥得到，V24122121222 880.答案2 88014(2012合肥模拟)一平面截一球得到直径为2的圆面，球心到这平面的距离为3，则该球的体积是_解析如图所示，AB1，OB3，则球的半径R，VR3.答案15已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连接AC，取AC中点O，连接OO.易知AC4，故AO2.在RtOAO
9、中，OA4，从而OO2.所以VOABCD2628.答案816(2012苏州模拟)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若n，mn，则m且m；若，m，n，则mn；若，m，n，则mn；若，m，n，则mn.上面命题中，所有真命题的序号为_解析中的直线m与可能平行，也可能在内，故错误；，m，m.又n，mn，故正确；中的直线m与n可能平行、异面或相交，故错误根据面面垂直的性质可知正确答案三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)(2012无锡高三质检)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，G分别是AA1，D1C，AD
10、的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)设是过MN的任一平面，求证：平面B1BG.证明(1)取CD的中点E，连接NE，AE，NEMA且NEMA，所以MAEN为平行四边形所以MNAE.MN平面ABCD.(2)在正方形ABCD中，易证BAGADE，所以DAEAGBABGAGB90.所以AEBG.B1BAE.AE平面B1BG.又MNAE，所以MN平面B1BG.平面B1BG.18(12分)如图，已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的长方体，AD1A160，AD14，点P是AD1的中点，求异面直线AA1与B1P所成的角的正切值解析过点P作PEA1D1，垂足为E，连接B1E，则PEAA1，所以B1
11、PE即为异面直线AA1与B1P所成的角在RtAA1D1中，因为AD1A160，所以A1B1A1D1AD12，AA1AD12，又因为P为AD1中点，且PEAA1，则A1EA1D11，PEAA1.所以B1E.在RtB1PE中，tan B1PE.所以异面直线AA1与B1P所成的角的正切值为.19(12分)如图，已知点H在正方体ABCDABCD的对角线BD上，HDA60.(1)求DH与CC所成角的大小；(2)求DH与平面AADD所成角的大小解析以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz(图略)设H(m，m,1)(m0)，则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD.(m，m,1)(m0)，由已知，
12、60，|cos ，可得2m，解得m，所以.(1)因为cos ，所以，45，即DH与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos ，所以，60，可得DH与平面AADD所成的角为30.20(12分)(2012泉州二模)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1面ABC，ACA1C且A1CAC，AA1a，ABAC，D为AA1中点(1)求证：CD面ABB1A1；(2)在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角EA1C1A的大小为.解析(1)证明面ACC1A1面ABC，ABAC，AB面ACC1A1，即有ABCD；又ACA1C，D为AA1中点，则CDAA1，CD面ABB1A
13、1.(2)如图所示以点C为坐标系原点，CA为x轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，则有A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(0,0，a)，B1(0，a，a)C1(a,0，a)，设E(x，y，z)，且，即有(xa，ya，z)(a,0，a)，所以E点坐标为(1)a，a，a)由条件易得面A1C1A的一个法向量为n1(0,1,0)，设平面EA1C1的一个法向量为n2(x，y，z)，由可得令y1，则有n2，则cos ，得1，所以，当1时，二面角EA1C1A的大小为.21(12分)(2012韶关模拟)如图(1)中矩形ABCD中，已知AB2，AD2，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN
14、交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60，如图(2) 图(1) 图(2)(1)求证：BODO；(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值解析(1)证明取MD，NC中点P，Q，如图建系，Q(0,0,0)，B，D，O.所以，(0，1)，所以0，即BODO.(2)设平面BOD的法向量是n(x，y，z)，可得xyz0，yz0，令y可得x，z2，所以n(，2)又，设AO与平面BOD所成角为，sin .22(14分)(2012深圳模拟)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形(1)求证：BN平面C1B1N；(2)设为直
15、线C1N与平面CNB1所成的角，求sin 的值；(3)设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP平面CNB1，求的值解析(1)证明该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直以BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N(4,4,0)，B1(0,8,0)，C1(0,8,4)，C(0,0,4)(4,4,0)(4,4,0)16160，(4,4,0)(0, 0,4)0，BNNB1，BNB1C1且NB1与B1C1相交于B1，BN平面C1B1N.(2)设n2(x，y，z)为平面NCB1的一个法向量，则，取n2(1,1,2)，(4，4，4)，则sin .(3)M(2,0,0)设P(0,0，a)为BC上一点，则(2,0，a)MP平面CNB1，n2n2(2,0，a)(1,1,2)22a0a1.又PM平面CNB1，MP平面CNB1，当PB1时，MP平面CNB1，.
