1、单元素养评价(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在ABC中,已知b=3,c=3,A=30,则C等于()A.30B.60或120C.60D.120【解析】选D.由余弦定理可得a=3,根据正弦定理有=,故sin C=,故C=60或120.若C=60,则B=90C,而bc,不满足大边对大角,故C=120.2.(2020重庆高一检测)已知ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,cos C=,ABC的面积为3,则c=()A.B.2C.D.【解析】选C.因为cos C=,所以sin
2、C=,由S=absin C,可得b=2,根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=29-20=13,所以c=.3.(2020天水高一检测)在ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,B=45,SABC=2,则ABC的外接圆的直径为()A.5B.4C.5D.6【解析】选C.根据三角形面积公式得1csin 45=2,得c=4,则b2=a2+c2-2accos B=25,即b=5,所以2R=5.4.(2020贺州高一检测)若在ABC中,acos(B+C)=bcos(A+C),则ABC一定是()A.等边三角形B.等腰或直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【解析】选B.因为A+B+
3、C=,acos(B+C)=bcos(A+C),所以acos(-A)=bcos(-B),即acos A=bcos B,由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,由于A,B为三角形内角,所以2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=,所以ABC是等腰或直角三角形.5.已知锐角三角形ABC中,|=4,|=1,ABC的面积为,则的值为()A.2B.-2C.4D.-4【解析】选A.SABC=|AB|AC|sin A=41sin A=,所以sin A=.又A为锐角,所以A=,所以cos A=,所以=|cos A=41=2.6.(2020南昌高一检测)在ABC
4、中,a=,b=,A=30,则c等于()A.2B.C.2或D.以上都不对【解析】选C.在ABC中由正弦定理=可知sin B=,所以B=或,所以C=或,由正弦定理=可知c=,解得c=2或.7.在ABC中,若b=2,A=120,其面积S=,则ABC外接圆的面积为()A.3B.4C.12D.16【解析】选B.因为S=bcsin A,所以=2csin 120,所以c=2,所以a=2,设ABC外接圆的半径为R,所以2R=4,所以R=2,面积S1=R2=4.8.(2020新余高一检测)如图,一栋建筑物AB的高为(30-10) m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线
5、)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30,则通信塔CD的高为()A.30 mB.60 mC.30 mD.40 m【解析】选B.作AECD,垂足为E,则在AMC中AM=20 m,AMC=105,ACM=30,所以=,所以AC=(60+20)m,所以CD=30-10+ACsin 30=60(m).9.(2020全国卷)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则tan B=()A.B.2C.4D.8【解析】选C.设AB=c,BC=a,CA=b,c2=a2+b2-2abcos C=9+16-234=9,所以c=3,cos B=,所以sin B=,所以tan
6、B=4.10.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A等于()A.B.C.D.【解析】选C.因为b=c,所以B=C,又B=-(A+C),所以2B=-A.由已知及正弦定理得sin2A=2sin2B(1-sin A),sin2A=(1-cos 2B)(1-sin A),所以sin2A=1-cos(-A)(1-sin A)=(1+cos A)(1-sin A),1-cos2A=(1+cos A)(1-sin A),因为A(0,),所以1+cos A0,所以1-cos A=1-sin A,所以sin A=cos A,A=.11.ABC中各角的对应
7、边分别为a,b,c,满足+1,则角A的范围是()A.B.C.D.【解析】选A.由+1可得:b(a+b)+c(a+c)(a+c)(a+b),整理可得b2+c2-a2bc,将不等式两边同除以2bc可得:,即cos A且0A,所以0A.12.(2020亳州高一检测)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bc=1,b+2ccos A=0,则当角B取得最大值时,ABC的周长为()A.2+B.2+C.3D.3+【解析】选A.在ABC中,由正弦定理得:sin B+2sin Ccos A=0,因为cos A=-0,tan B=-=,当且仅当tan C=时取等号,此时B取得最大值,所以c=b=1
8、,C=B=,A=.所以a=21cos =.所以a+b+c=2+.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.在锐角ABC中,若a=2,b=3,则c的取值范围是.【解析】因为ABC为锐角三角形,则cos A0,cos B0,cos C0,即0,0,0,将a=2,b=3代入,解得c,即c的取值范围为(,).答案:(,)14.已知在ABC中,3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cos C的值为.【解析】由3a2-2ab+3b2-3c2=0,得c2=a2+b2-ab.根据余弦定理得,cos C=,所以cos C=.答案:15.在四边形ABCD中,AB=7,AC=6
9、,cosBAC=,CD=6sin DAC,则BD的最大值为.【解析】由正弦定理可知,sinADC=AC=6=1.又ADC为三角形内角,所以ADC=90,所以D点在以AC为直径的圆上,所以当BD过AC的中点M时,BD最大.此时BM=5,MD=AC=3,所以BD的最大值为8.答案:816.(2020咸阳高一检测)九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与地面成75角,折断部分与地面成45角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是米(结果保留根号).【解析】如图所示,设树
10、干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则AOB=75,ABO=45,所以OAB=60.由正弦定理知=,所以OA=(米),AB=(米),所以OA+AB=(5+5)(米).答案:(5+5)三、解答题(共70分)17.(10分)(2020九江高一检测)已知函数f(x)=2sin xcos x+(2cos2x-1).(1)若ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足f=,求锐角A的大小;(2)在(1)的条件下,若ABC的外接圆半径为1,求ABC的面积S的最大值.【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+(2cos2x-1)=sin 2x+cos 2x=2sin.因为f=2si
11、n=2sin A=,又A为锐角,所以A=.(2)因为ABC的外接圆半径为1,由正弦定理得:=2R=2,所以a=2sin A=2sin=2=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos 得3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc3(当且仅当b=c时取等号),则三角形的面积S=bcsin A3=(当且仅当b=c时取等号).故三角形面积S的最大值为.18.(12分)(2020全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos A=.(1)求A;(2)若b-c=a,证明:ABC是直角三角形.【解析】(1)因为cos2+cos A=,所以sin2A+cos A=,即1-cos
12、2A+cos A=,解得cos A=,又0Ac,解得b=2c,所以a=c,故b2=a2+c2,即ABC是直角三角形.19.(12分)(2020绵阳高一检测)ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos C-c=2a.(1)求B的大小;(2)若a=3,且AC边上的中线长为,求c的值.【解析】(1)因为2bcos C-c=2a,所以由余弦定理可得2b-c=2a,化简得a2+c2-b2=-ac,所以cos B=-,因为B(0,),所以B=.(2)如图,由(1)得b2=a2+c2+ac=c2+3c+9,又因为在ABC中,cos C=,取AC中点D,连接BD.因为a=3,BD=,在CBD中
13、,cos C=,所以9+b2-c2=2,把代入,化简得c2-3c-10=0,解得c=5或c=-2(舍去),所以c=5.20.(12分)(2020上饶高一检测)如图,一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100 km的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发,要把一份稿件交给这汽车的司机.(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中?(2)在(1)的条件下,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.【解析】(1)如图,设快艇以v km/h的速度从B处出发,沿BC方向行驶,t h后与汽车在C处相遇
14、,在ABC中,AB=500,AC=100t,BC=vt,BD为AC边上的高,BD=300.设BAC=,则sin =,cos =.由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ABACcos ,所以v2t2=(100t)2+5002-2500100t,整理,得v2=-+10 000=250 000+10 000-=250 000+3 600,当=,即t=时,=3 600,vmin=60(km/h),即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中.(2)当v=60 km/h时,在ABC中,AB=500,AC=100=625,BC=60=375,由余弦定理,得cosABC=0,所以ABC=90
15、,故快艇应向垂直于AB的方向向北偏东方向行驶.21.(12分)(2020天津高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=5,c=.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin的值.【解析】(1)在ABC中,由a=2,b=5,c=及余弦定理得cos C=,又因为C(0,),所以C=.(2)在ABC中,由C=,a=2,c=及正弦定理,可得sin A=.(3)由ac知角A为锐角,由sin A=,可得cos A=,进而sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=,所以sin=sin 2Acos +cos 2Asin =+=.22.(
16、12分)如图,在ABC中,已知B=,AC=4,D为BC边上一点.(1)若AD=2,SDAC=2,求DC的长;(2)若AB=AD,试求ADC的周长的最大值.【解析】(1)因为SDAC=2,所以ADACsin DAC=2,所以sin DAC=.因为DACBAC-=,所以DAC=.在ADC中,由余弦定理,得DC2=AD2+AC2-2ADACcos ,所以DC2=4+48-224=28,所以DC=2.(2)因为AB=AD,B=,所以ABD为正三角形.在ADC中,根据正弦定理,可得=,所以AD=8sin C,DC=8sin,所以ADC的周长为AD+DC+AC=8sin C+8sin +4=8+4=8+4=8sin+4,因为ADC=,所以0C,所以C+,所以当C+=,即C=时,ADC的周长取得最大值,且最大值为8+4.
