1、31两角和与差的正弦、余弦和正切公式31.1两角差的余弦公式三维目标1知识与技能掌握用向量方法建立两角差的余弦公式通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其他和(差)公式打好基础2过程与方法经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用3情感、态度与价值观通过本节学习和应用实践，培养学生的探索精神，体会数学的科学价值、应用价值，学会用数学的思维方式解决问题重点、难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式难点：探索过程的组织和适当引导这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等教学建议 两角差的余
2、弦公式的推导是本节的重点，也是难点尤其是要引导学生通过主动参与，独立探索，自己得出结果更是难点首先明确提出探索课题：如何用任意角，的正弦、余弦值来表示cos()呢？凭直觉得出cos()cos cos 是学生经常出现的错误，通过讨论可以知道它不是对任意角探索目标的认识，也为以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备联系已经学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的鉴于学生独立地运用单位圆上的三角函数线进行探索存在一定的困难，因此这个过程比较困难、复杂，教学中应适时作出必要的引导在引导学生用向量数量积探索两角差的余弦公式时，可提出以下要点：(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体
3、会向量方法的作用(2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备(3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探索，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式课标解读1.掌握两角差的余弦公式(重点)2.会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(难点)3.两角差的余弦和两角余弦的差(易混点)两角差的余弦公式【问题导思】1cos 60cos 30cos(6030)成立吗？【提示】不成立2cos cos cos()成立吗？【提示】不一定3.单位圆中(如图)，AOx，BOx，那么A，B
4、的坐标是什么？与的夹角是多少？【提示】A(cos ，sin )，B(cos ，sin )与的夹角是.4你能用哪几种方法计算的数量积？【提示】|cos()cos()，cos cos sin sin .5根据上面的计算可以得出什么结论？【提示】cos()cos cos sin sin .cos()cos cos sin sin .(1)适用条件：公式中的角，都是任意角(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接等号与左边角的连接符号相反(见学生用书第63页)利用两角差的余弦公式求值例1求值：(1)sin 460sin(160)cos 560cos(280)；(2)sin 285.【思路探
5、究】解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦公式来求解【自主解答】(1)原式sin 100(sin 160)cos 200cos 280sin 100sin 20cos 20cos 80(cos 80cos 20sin 80sin 20)cos 60.(2)sin 285sin(27015)cos 15cos(6045)(cos 60cos 45sin 60sin 45).规律方法1解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值2两角差的余弦公式的结构特
6、点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦(2)把所得的积相加变式训练求下列各式的值：(1)cos(165)；(2)sin 15sin 105cos 15cos 105.【解】(1)原式cos 165cos 15cos(4530)(cos 45cos 30sin 45sin 30).(2)原式cos(15105)cos(90)cos 900.给值(式)求值例2已知sin()，且，求cos 的值【思路探究】注意到()，把求cos 转化为两角差的余弦，考虑到公式特征，只需求cos()的值，利用平方关系，问题可解【自主解答】sin()，且，cos().cos cos()cos()cos s
7、in()sin.规律方法1本题求解的关键在于把角分解成两角与之差，变角是进行三角变换的常用方法技巧，如()，()，(2)()等2利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式计算互动探究在本例中，若把的范围改为：“”，其他条件不变，又如何求cos 的值？【解】sin()且.2.cos().cos cos()cos()cossin()sin.已知三角函数值求角例3已知、均为锐角，且cos ，cos ，求的值【思路探究】本题可先求出cos()的值，结合的范围，再求出的值【自主解答
8、】、均为锐角，sin ，sin .cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.规律方法1这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解2确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定变式训练已知cos ，cos()，且0，求的值【解】由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin().由()得cos cos cos()sin sin().0，.易错误区(见学生用书第64页)不考虑角的范围致误典例已知，是锐角，sin sin sin ，
9、cos cos cos ，求的值【错解】由已知得，sin sin sin ，cos cos cos ，两式分别平方得，sin2 2sin sin sin2sin2 ，cos22cos cos cos2 cos2 ，两式相加得，12(cos cos sin sin )11，即cos()，故.【错因分析】没有考虑角的范围，出现了不易发现的错误【防范措施】对于求角的题，一定要先考虑角的范围，这样才不会出错【正解】由已知得，sin sin sin ，cos cos cos ，两式分别平方得，sin22sin sin sin2 sin2，cos2 2cos cos cos2 cos2 ，两式相加得，12
10、(cos cos sin sin )11，即cos().由于，是锐角，所以由sin sin sin 0可知，故.课堂小结1给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找一个单调区间)；确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定当堂检测(见学生用书第65页)1cos 17等于()Acos 20co
11、s 3sin 20sin 3Bcos 20cos 3sin 20sin 3Csin 20sin 3cos 20cos 3Dcos 20sin 20sin 3cos 3【解析】cos 17cos(203)cos 20cos 3sin 20sin 3.【答案】B2下列关系中一定成立的是()Acos()cos cos Bcos()cos cos Ccos()sin Dcos()sin 【解析】由两角差的余弦公式知A不正确；令，知B不正确；由诱导公式可知C正确，D不正确【答案】C3cos(40)cos 20sin(40)sin(20)_.【解析】原式cos (40)cos 20sin (40)sin
12、20cos(4020)cos(60)cos 60.【答案】4设(0，)，若sin ，求cos()的值【解】(0，)，sin ，cos ，cos()(cos cossin sin)().课后检测一、选择题1(2013宣城高一检测)cos 80cos 35sin 80cos 55的值是()A.BC.D【解析】cos 80cos 35sin 80cos 55cos 80cos 35sin 80sin 35cos(8035)cos 45.【答案】A2下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是()Acos 80cos 20sin 80sin 20cos 60Bcos 75cos 45cos(30)sin
13、 45sin(30)Csin(45)sin cos(45)cos cos 45Dcos()cos sin 【解析】cos()cos sin .【答案】D3cos 15的值为()A. B.C. D.【解析】cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.【答案】A4已知钝角、满足cos ，cos()，则cos 等于()A. BC. D【解析】、为钝角2，由cos 得sin .又cos ()，sin()，cos cos ()cos()cos sin()sin ()()().【答案】B5已知sin sin ，cos cos ，则cos()的值为()A. B.C. D【
14、解析】由已知得(sin sin )2，(cos cos )2，得：22sin sin 2cos cos 1，cos cos sin sin ，即cos().【答案】D二、填空题6已知cos ，是锐角，则cos()_.【解析】cos()cos sin .【答案】7已知sin ，(，)，cos ，(，)，则cos()_.【解析】sin ，(，)，cos .又cos ，(，)，sin .故cos()cos cos sin sin ()().【答案】8(2013泰安高一检测)已知cos(30)，3090，则cos _.【解析】3090，603090，又cos(30)，sin(30).cos cos(3
15、0)30cos(30)cos 30sin(30)sin 30.【答案】三、解答题9已知cos cos ，sin sin ，求cos()【解】由cos cos ，两边平方得(cos cos )2cos2cos22cos cos .由sin sin ，两边平方得(sin sin )2sin2 sin2 2sin sin .得22(cos cos sin sin ).cos cos sin sin ，cos().10已知tan 4 ，cos()，、均为锐角，求cos 的值【解】(0，)，tan 4 ，sin 4 cos sin2cos21由得sin ，cos .(0，)，cos()，sin().co
16、s cos()cos()cos sin()sin ().cos .11已知cos()，sin()，2，求的值【解】，cos()，sin().2，sin()，cos().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()()()1.，2，2，2，.【教师备课资源】1向量及三角形知识综合应用【典例】已知向量m(cos，)与向量n(，cos)共线，其中A，B，C是ABC的内角(1)求角B的大小；(2)若cos C，求cos A的值【思路探究】(1)根据向量共线求出cos的值，进而求角B.(2)将cos A转化为cos(C)进行求解【自主解答】(1)向量m(cos，)与向量n(，cos)
17、共线，coscos，cos，又0B，即B.(2)由(1)知AC，AC，cos C，sin C，cos Acos(C)coscos Csinsin C.规律方法1利用向量共线的条件得到cos的值是解决本题的关键2解决此类问题除了应用向量的有关知识以外，还要注三角形中的一些常用结论，如角的范围及内角和定理等变式训练已知向量a(sin ，2)与b(1，cos )互相垂直，其中(0，)(1)求sin 和cos 的值；(2)若5cos()3cos ，0，求角的值【解】(1)ab，absin 2cos 0，即sin 2cos .又sin2cos21，4cos2cos21，则cos2，sin2.又(0，)，
18、sin ，cos .(2)5cos()5(cos cos sin sin )cos 2sin 3cos ，cos sin ，tan 1.又0，故.2知识拓展两角差的余弦公式(1)公式的推导方法探讨教科书中给出了两种推导公式的方法方法一是借助于单位圆中的三角函数线和平面几何的有关知识，该法技巧性较强，学生不易想到方法二是借助于上一章平面向量中的“两个向量的数量积”的有关知识，由于只是寻求角之间的关系，与向量的长度无关，故可选取单位向量，但要注意两个向量的数量积中两个向量的夹角的取值范围(2)两角差的余弦公式的推导如图所示，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角、，它们的终边与单位圆
19、O的交点分别为A、B，则(cos ，sin )，(cos ，sin )由向量数量积的概念，有|cos()cos()综合向量数量积的坐标表示，有cos cos sin sin .于是有：cos()cos cos sin sin .(*)由以上的推导过程可知，、是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，(*)中的0，为此，我们讨论如下：由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角0,2，使cos cos()a若0，)，则cos cos()b若，2)，则2(0，且cos(2)cos cos ()由以上的讨论可知：对于任意的、，都有cos()cos cos sin sin .C()(3)公式的记忆右端为、的同名三角函数积的和，左端为两角差的余弦
