1、考点规范练26平面向量的概念及线性运算一、基础巩固1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab,且|a|=|b|答案:C解析:由a|a|表示与a同向的单位向量,b|b|表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.2.如图,已知AB=a,AC=b,DC=3BD,AE=2EC,则DE等于()A.34b-13aB.512a-34bC.34a-13bD.512b-34a答案:D解析:由平面向量的三角形法则可知,DE=DC+CE=34BC+-13AC=34(AC-AB)-13AC=-34AB+512AC=
2、-34a+512b,故选D.3.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.2答案:B解析:BC=a+b,CD=a-2b,BD=BC+CD=2a-b.又A,B,D三点共线,AB,BD共线.AB=BD,即2a+pb=(2a-b).2=2,p=-.=1,p=-1.4.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=12AB,BF=23BC.如果EF=mAB+nAC(m,n为实数),那么m+n的值为()A.-12B.0C.12D.1答案:C解析:如图,EF=EA+AC+CF=-12AB+AC-13BC
3、=-12AB+AC-13(BA+AC)=-16AB+23AC.EF=mAB+nAC,m=-16,n=23,m+n=12.故选C.5.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP=2OA+BA,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上答案:B解析:因为2OP=2OA+BA,所以2AP=BA.所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.6.已知点O为ABC外接圆的圆心,且OA+OB+OC=0,则ABC的内角A等于()A.30B.60C.90D.120答案:B解析:由OA+OB+OC=0,知点O为ABC的重心.又O为
4、ABC外接圆的圆心,所以ABC为等边三角形,故A=60.7.若点M是ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则ABM与ABC的面积比为()A.15B.25C.35D.45答案:C解析:设AB的中点为D.由5AM=AB+3AC,得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD.如图,故C,M,D三点共线,且MD=35CD,也就是ABM与ABC对于边AB上的两高之比为35,则ABM与ABC的面积比为35,选C.8.如图,在ABC中,AD=DB,点F在线段CD上,设AB=a,AC=b,AF=xa+yb,则1x+4y+1的最小值为()A.6+22B.63C.6+42D.3+22答案:D解
5、析:AF=xa+yb=2xAD+yAC.C,F,D三点共线,2x+y=1,即y=1-2x,其中x0,y0.1x+4y+1=1x+21-x=x+1x-x2.令f(x)=x+1x-x2,得f(x)=x2+2x-1(x-x2)2,令f(x)=0得x=2-1(x=-2-1舍去).当0x2-1时,f(x)2-1时,f(x)0.故当x=2-1时,f(x)取得最小值f(2-1)=2(2-1)-(2-1)2=3+22.故选D.9.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为.答案:90解析:由AO=12(AB+AC)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即BAC=90,故A
6、B与AC的夹角为90.10.已知D为ABC的边BC的中点,点P满足PA+BP+CP=0,AP=PD,则实数的值为.答案:-2解析:如图,由AP=PD,且PA+BP+CP=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此AP=-2PD,则=-2.11.如图,在ABC中,已知BAC=3,AB=2,AC=4,点D为边BC上一点,满足AC+2AB=3AD,点E是AD上一点,满足AE=2ED,则BE=.答案:2219解析:如图,延长AB到F,使AF=2AB,连接CF,则AC=AF.取CF的中点O,连接AO,则AC+2AB=2AO=3AD,A,D,O三点共线,BAC=3,CAO=6,且AOCF,AC=
7、4,AO=23.AD=433.又AE=2ED,AE=2ED=23AD=839.又AB=2,BAE=6,在ABE中,由余弦定理,得BE2=4+6427-2283932=2827.BE=2219.12.如图,直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且与对角线AC交于点K.其中AE=25AB,AF=12AD,AK=AC,则的值为.答案:29解析:AE=25AB,AF=12AD,AB=52AE,AD=2AF.由向量加法的平行四边形法则可知,AC=AB+AD,AK=AC=(AB+AD)=52AE+2AF=52AE+2AF.E,F,K三点共线,52+2=1,=29.二、能力提升13
8、.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD等于()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b答案:D解析:如图,连接OC,OD,CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,可得AOC=COD=BOD=60,且OAC和OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b,故选D.14.在ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若AO=xAB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-1,0)D.(0,1)答案:A解析:设BO=BC(1),
9、则AO=AB+BO=AB+BC=(1-)AB+AC.又AO=xAB+(1-x)AC,所以xAB+(1-x)AC=(1-)AB+AC.所以=1-x1,得x0.15.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c等于()A.aB.bC.cD.0答案:D解析:因为a+b与c共线,所以a+b=1c.又因为b+c与a共线,所以b+c=2a.由得b=1c-a.所以b+c=(1+1)c-a=2a,所以1+1=0,2=-1,即1=-1,2=-1.所以a+b+c=-c+c=0.16.已知ABC是边长为4的正三角形,D,P是ABC内的两点,且满足AD=14(AB+AC),AP
10、=AD+18BC,则APD的面积为()A.34B.32C.3D.23答案:A解析:取BC的中点E,连接AE,因为ABC是边长为4的正三角形,所以AEBC,AE=12(AB+AC).又AD=14(AB+AC),所以点D是AE的中点,AD=3.取AF=18BC,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知AP=AD+18BC=AD+AF.因为APD是直角三角形,AF=12,所以APD的面积为12123=34.17.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为.答案:12解析:因为DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=-16AB+23AC,所以1=-16,2=23,所以1+2=12.三、高考预测18.如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n的值为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:O为BC的中点,AO=12(AB+AC)=12mAM+nAN=m2AM+n2AN.M,O,N三点共线,m2+n2=1,m+n=2.
