1、2016-2017学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，则复数=（）A6+5iB65iC6+5iD65i2设集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，则UM=（）AUB1，3，5C3，5，6D2，4，63若向量，向量，则=（）A（2，4）B（3，4）C（6，10）D（6，10）4下列函数，在区间（0，+）上为增函数的是（）Ay=ln（x+2）BCD5已知集合A=xR|x|2，B=xR|x1，则AB=（）A（，2B1，2C2，2D2，16在ABC中，a=3，b
2、=5，sinA=，则sinB=（）ABCD17设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则（）ASn=2an1BSn=3an2CSn=43anDSn=32an8函数y=的定义域为（）A（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）9“（2x1）x=0”是“x=0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10设sin（+）=，则sin2=（）ABCD11函数f（x）=x的图象关于（）Ay轴对称B直线y=x对称C坐标原点对称D直线y=x对称12函数f（x）=lnx+2x6的零点所在的区间为（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（4，5
3、）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，满分12分13（3分）曲线y=x3x+3在点（1，3）处的切线方程为14（3分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x1，3）时，f（x）=x2，则f（1）=15（3分）OA为边，OB为对角线的矩形中，则实数k=16（3分）已知函数，若f（x）=10，则x=17曲线y=x2，x=0，y=1，所围成的图形的面积为三、解答题本大题共4道题，每题10分，满分40分18（10分）设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x（0，）（1）若|=|，求x的值； （2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值19（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边分
4、别为a，b，c且满足csinA=acosC，（I）求角C的大小；（II）求sinAcos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小20（10分）已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0，S5=5，（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和21设数列an的前n项和为Sn满足2Sn=an+12n+1+1，nN*，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式22（10分）设f（x）=alnx+x+1，其中aR，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴（）求a的值；（）求函数f（x）的极值2016-2017学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期中
5、数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，则复数=（）A6+5iB65iC6+5iD65i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果【解答】解：=65i故选D【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（2012广东）设集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，则UM=（）AUB1，3，5C3，5，6D2，4，6【考点】补集及其运算【专题】集合【分析】直接利用补集
6、的定义求出CUM【解答】解：集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，则UM=3，5，6，故选C【点评】本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题3（2012广东）若向量，向量，则=（）A（2，4）B（3，4）C（6，10）D（6，10）【考点】平面向量的坐标运算【专题】平面向量及应用【分析】由向量，向量，知，再由，能求出结果【解答】解：向量，向量，=（4，7）（2，3）=（2，4）故选A【点评】本题考查平面向量的坐标运算，是基础题解题时要认真解答，仔细运算4（2012广东）下列函数，在区间（0，+）上为增函数的是（）Ay=ln（x+2）BCD【考点】对数函数的单调性与特殊点；
7、函数单调性的判断与证明【专题】函数的性质及应用【分析】利用对数函数的图象和性质可判断A正确；利用幂函数的图象和性质可判断B错误；利用指数函数的图象和性质可判断C正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断D的单调性【解答】解：A，y=ln（x+2）在（2，+）上为增函数，故在（0，+）上为增函数，A正确；B，在1，+）上为减函数；排除BC，在R上为减函数；排除CD，在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，排除D故选 A【点评】本题主要考查了常见函数的图象和性质，特别是它们的单调性的判断，简单复合函数的单调性，属基础题5（2013天津）已知集合A=xR|x|2，B=xR|x1，则AB=（）A
8、（，2B1，2C2，2D2，1【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出AB即可【解答】解：A=x|x|2=x|2x2AB=x|2x2x|x1，xR=x|2x1故选D【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题6（2013北京）在ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）ABCD1【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值【解答】解：a=3，b=5，sinA=，由正弦定理得：sinB=故选B【点评】此题考查了正
9、弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7（2013新课标）设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则（）ASn=2an1BSn=3an2CSn=43anDSn=32an【考点】等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式【解答】解：由题意可得an=1=，Sn=3=32=32an，故选D【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题8（2013重庆）函数y=的定义域为（）A（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【
10、分析】根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：2x3，或x3所以原函数的定义域为（2，3）（3，+）故选C【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题9（2013安徽）“（2x1）x=0”是“x=0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断【解答】解：若（2x1）x=0 则x=0或x=即（2x
11、1）x=0推不出x=0反之，若x=0，则（2x1）x=0，即x=0推出（2x1）x=0 所以“（2x1）x=0”是“x=0”的 必要不充分条件故选B【点评】判定条件种类，根据定义转化成相关命题的真假来判定一般的，若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件10（2011辽宁）设sin（+）=，则sin2=（）ABCD【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题【分析】
12、根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2的值【解答】解：由sin（+）=sincos+cossin=（sin+cos）=，两边平方得：1+2sincos=，即2sincos=，则sin2=2sincos=故选A【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题11（2014博山区校级模拟）函数f（x）=x的图象关于（）Ay轴对称B直线y=x对称C坐标原点对称D直线y=x对称【考点】奇偶函数图象的对称性【分析】根据函数f（x）的奇偶性
13、即可得到答案【解答】解：f（x）=+x=f（x）是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称故选C【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型12（2013淄博模拟）函数f（x）=lnx+2x6的零点所在的区间为（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（4，5）【考点】函数的零点【专题】计算题【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论【解答】解：f（1）=260，f（2）=4+ln260，f（3）=6+ln360，f（4）=8+ln460，f（2）f（3）0，m的所在区间为（2，3）故选B【点评】考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能
14、力解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此题是基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，满分12分13（3分）（2012广东）曲线y=x3x+3在点（1，3）处的切线方程为2xy+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用【分析】先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可【解答】解：y=3x21，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y3=2（x1），即2xy+1=0故答案为：2xy+1=0【点评】本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题14（3分）（2014春玉林期末）设
15、f（x）是以2为周期的函数，且当x1，3）时，f（x）=x2，则f（1）=1【考点】函数的值【专题】计算题【分析】利用函数的周期，求出f（1）=f（1），代入函数的解析式求解即可【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x1，3）时，f（x）=x2，则f（1）=f（1）=12=1故答案为：1【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，值域函数的定义域是解题的关键，考查计算能力15（3分）（2013重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，则实数k=4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算【专题】压轴题；平面向量及应用【分析】由题意可得OAAB，故有 =0，即 =0，
16、解方程求得k的值【解答】解：由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OAAB，=0，即 =（3，1）（2，k）10=6+k10=0，解得k=4，故答案为 4【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的加减法及其几何意义，属于基础题16（3分）（2016秋南岗区校级期中）已知函数，若f（x）=10，则x=或3【考点】函数的值【专题】计算题【分析】分x0，x0两种情况进行讨论可表示出方程，解出即可【解答】解：当x0时，f（x）=10即x2+1=10，解得x=3；当x0时，f（x）=10即2x+1=10，解得；故答案为：或3【点评】本题考查分段函数的求值问题，注意“对号入座
17、”17（2016秋南岗区校级期中）曲线y=x2，x=0，y=1，所围成的图形的面积为【考点】定积分在求面积中的应用；微积分基本定理【专题】转化思想；定义法；导数的综合应用【分析】由定积分的定义可知，曲线y=x2和直线x=1以及y=0所围成的图形的面积，再由微积分定理求面积【解答】解：由题意，曲线y=x2和直线x=1以及y=0所围成的图形的面积是，所以由曲线y=x2和直线x=1以及y=0所围成的图形的面积是 故答案为：【点评】本题考查了定积分的定义、微积分定理求面积，属于常规题三、解答题本大题共4道题，每题10分，满分40分18（10分）（2015滕州市校级模拟）设向量=（sinx，sinx），
18、=（cosx，sinx），x（0，）（1）若|=|，求x的值； （2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值【考点】平面向量数量积的运算【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）根据|=|，建立方程关系，利用三角函数的公式即可求x的值； （2）利用数量积的定义求出函数f（x）=的表达式，利用三角函数的图象和性质求f（x）的最大值【解答】解：（1）由|a|2=（sin x）2+（sin x）2=4sin2 x，|b|2=（cos x）2+（sin x）2=1及|a|=|b|，得4sin2 x=1又x（0，），从而sin x=，x=（2）f（x）=sin xcos x+sin2x=sin 2xcos
19、 2x+=sin（2x）+，当x=（0，）时，sin（2x）取最大值1f（x）的最大值为【点评】本题主要考查空间向量的坐标公式的应用，以及三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）是解决本题关键19（10分）（2016秋南岗区校级期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC，（I）求角C的大小；（II）求sinAcos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【专题】解三角形【分析】（I）ABC中，由csinA=acosC，由正弦定理可得tanC=1，从而求得C的值（II）由上可
20、得B=A，利用两角和的正弦公式把要求的式子化为2sin（A+），再根据 A+，求得所求式子的最大值，以及最大值时角A，B的大小【解答】解：（I）ABC中，csinA=acosC，由正弦定理可得 sinCsinA=sinAcosC，tanC=1，C=（II）由上可得B=A，sinAcos（B+）=sinA+cosA=2sin（A+）0A，A+，当 A+=时，所求的式子取得最大值为 2，此时，A=，B=【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦定理的应用，正弦函数的定义域、值域，属于中档题20（10分）（2015四川模拟）已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0，S5=5，（1）求an的通项公式
21、；（2）求数列的前n项和【考点】数列的求和【专题】函数的性质及应用【分析】（1）设等差数列an的公差为d，利用等差数列的前n项和公式及其通项公式即可得出；（2）由于=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，前n项和Sn满足S3=0，S5=5，解得a1=1，d=1an=1（n1）=2n（2）=，数列的前n项和=【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式及其通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（2014陕西模拟）设数列an的前n项和为Sn满足2Sn=an+12n+1+1，nN*，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1的值；（2）求数列a
22、n的通项公式【考点】数列递推式【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）在题目给出的数列递推式中，分别取n=1，2，得到a2和a1，a3和a1的关系，结合a1，a2+5，a3成等差数列即可列式求得a1的值；（2）在数列递推式中，取n=n+1得到另一递推式，作差后得到，验证可知n=1时该等式成立，由此得到说明数列为等比数列，由等比数列的通项公式求得，则数列an的通项公式可求【解答】解：（1）在2Sn=an+12n+l+1中，令n=1得：2S1=，即a2=2a1+3 令n=2得：，即a3=6a1+13 又2（a2+5）=a1+a3 联立得：a1=1；（2）由2Sn=an+12n+l+1，得：
23、，两式作差得，又a1=1，a2=5满足，对nN*成立则【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了学生的计算能力，是中档题22（10分）（2012重庆）设f（x）=alnx+x+1，其中aR，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴（）求a的值；（）求函数f（x）的极值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【专题】综合题【分析】（） 求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴，可得f（1）=0，从而可求a的值；（） 由（）知，（x0），=，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值【解答】解：（） 求导函数可得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴f（1）=0，a=1；（） 由（）知，（x0）=令f（x）=0，可得x=1或x=（舍去）0x1时，f（x）0，函数递减；x1时，f（x）0，函数递增x=1时，函数f（x）取得极小值为3【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值，正确求导是关键
