1、课时作业15祖暅原理与几何体的体积时间：45分钟1将两个棱长为10 cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为(B)A8 cmB80 cmC40 cmD. cm解析：设正四棱柱的高为h cm，依题意得55h2103，解得h80(cm)2若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为(B)A3 B.C. D.解析：设圆锥的底面半径为R，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h2RR，所以2RR，解得R1.所以V圆锥12.3.圆台上、下底面面积分别为、4，侧面积为6，则这个圆台的体积为(A)A. B.C2 D.解析：设圆台的上、下底
2、面半径分别为r、r，则r2，r24，r1，r2，设母线长为l，(12)l6，l2，高h.V圆台(12212).4已知正四棱台ABCDABCD中，AB3，AB6，体积V126，则该正四棱台的高为(C)A18 B9C6 D12解析：设正四棱台的高为h，则有(3262)h126，解得h6，即该正四棱台的高为6，故选C.5在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体体积为(D)A. B.C. D.解析：每个截去的小三棱锥体积为()()4，则剩余部分的体积为V1()481.6.如图，在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120，若使ABC绕直线BC
3、旋转一周，则所形成的几何体的体积是(D)A. B.C. D.解析：如图，作ADBC，垂足为D，则在RtABD中，DB1，AD.所求几何体的体积为AD2CDAD2BDAD2BC()2.故选D.7正方体的内切球与其外接球的体积之比为(C)A1 B13C13 D19解析：设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，外接球的半径为，正方体的内切球与其外接球的体积之比为3313.8现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点
4、，则图甲中水面的高度为(D)A. B2C. D.解析：设正三棱柱的底面积为S，则VABCA1B1C13S.E，F，F1，E1分别为其所在棱的中点，即SAFES，S四边形BCFES，VBCFEB1C1F1E1S3S，题图甲中水面的高度为.故选D.9如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为312.解析：设球的半径为R，则V圆柱R22R2R3，V圆锥R22RR3，V球R3，故V圆柱V圆锥V球2R3R3R3312.10将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BDa，则三棱锥DABC的体积为a3.解析：BABCBD，B点在面ACD上的射影为A
5、CD的外心，即等腰直角ADC斜边中点O，ODa，OBa，V三棱锥DABCaa2a3.11一个球内切于底面半径为，高为3的圆锥内，则内切球半径是1；内切球与该圆锥的体积之比为.解析：设球的半径为r，则对圆锥轴截面运用等面积法可得23(222)r，r1，内切球与该圆锥的体积之比为.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分)12某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，如图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解：该组合体的表面积S4r22rl41221310.该组合体的体积Vr3r2l13123.13如图所示，正方
6、体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥AA1BD的体积及高素养提升14表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(A)A. B.C. D.解析：如图所示，将正四面体补形成一个正方体设正四面体的棱长为a.正四面体的表面积为，4a2，解得a，正方体的棱长是，又球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，2R，R，球的体积为3，故选A.15如图所示，有一块扇形铁皮OAB，AOB60，OA72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形铁皮使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)(1)AD应取多长；(2)试求容器的容积V.解：(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R.ADx，则OD72x，由题意得，即AD应取36 cm.(2)2rOD36，r6 cm，圆台的高h6.Vh(R2Rrr2)6(12212662)504(cm3)
