1、9.2 两直线的位置关系最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直 两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2 ()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.k1k2两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2 ()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.k1k21【知识拓展】1一般地，与直线AxByC0平
2、行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.3点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线 l1：A1xB1yC10，l
3、2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.()(4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b|1k2.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)若点 A，B 关于直线 l：ykxb(k0)对称，则直线 AB的斜率等于1k，且线段 AB 的中点在直线 l 上()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1过点(1，0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20Dx2y10【解析】所求直线与直线 x2y20 平行，所求直线的斜率为12，又直线
4、过(1，0)点，则直线方程为 x2y10.【答案】A2(教材改编)已知点(a，2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于()A.2B2 2C.21D.21【解析】依题意得|a23|11 1.解得 a1 2或 a1 2.a0，a1 2.【答案】C3已知直线 l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，则实数 m 的值为()A7 B1C1 或7 D.133【解析】l1 的斜率为3m4，纵截距为53m4，l2 的斜率为25m，纵截距为85m.又l1l2，由3m425m得，m28m70，得 m1 或7.【答案】A m1 时，53m485m2，l1 与 l2 重合，故不符合
5、题意；m7 时，53m4132 85m4，符合题意 4已知直线 l1 与 l2：xy10 平行，且 l1 与 l2 的距离是 2，则直线 l1 的方程为_【解析】设 l1 的方程为 xyc0，则|c1|2 2.|c1|2，即 c1 或 c3.直线 l1 的方程为 xy10 或 xy30.【答案】xy10 或 xy30题型一 两条直线的平行与垂直【例1】已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等【思维点拨】本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件，解题易错点在于忽略斜率不存
6、在的情况【解析】(1)方法一：由已知可得 l2 的斜率存在，k21a.若 k20，则 1a0，a1.l1l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b0.又l1 过点(3，1)，3a40，即 a43(矛盾)此种情况不存在，k20.即 k1，k2 都存在，k21a，k1ab，l1l2，k1k21，即ab(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.方法二：由于l1l2，所以a(a1)(b)10.即ba2a.又因为l1过点(3，1)所以3ab40.联立可得a2，b2.经验证，符合题意 故 a2，b2.(2)l2 的斜率存在，l1l2，直线 l1 的斜率存在，k1k2，即a
7、b1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1l2，l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb.联立，解得a2，b2或a23，b2.a2，b2 或 a23，b2.【思维升华】(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 跟踪训练1 已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsiny10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.【解析】(1)方法一：当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显
8、然l1不平行于l2.当 sin 0 时，k11sin，k22sin.要使 l1l2，需1sin 2sin，即 sin 22.所以 k4，kZ，此时两直线的斜率相等 故当 k4，kZ 时，l1l2.方法二：由 A1B2A2B10，得 2sin210，所以 sin 22.所以 k4，kZ.又 B1C2B2C10，所以 1sin 0，即 sin 1.故当 k4，kZ 时，l1l2.(2)因为 A1A2B1B20 是 l1l2 的充要条件，所以 2sin sin 0，即 sin 0，所以 k，kZ.故当 k，kZ 时，l1l2.题型二 两直线相交【例2】求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10
9、的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程【思维点拨】可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解【解析】方法一：先解方程组3x2y105x2y10，得 l1，l2 的交点坐标为(1，2)，再由 l3 的斜率35求出 l 的斜率为53，于是由直线的点斜式方程求出 l：y253(x1)，即 5x3y10.方法二：由于 ll3，故 l 是直线系 5x3yC0 中的一条，而 l 过 l1，l2 的交点(1，2)，故 5(1)32C0，由此求出 C1，故 l 的方程为 5x3y10.方法三：由于 l 过 l1，l2 的交点，故 l 是直线系 3x2y1(5x2y1)0 中的一
10、条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率为352253，解得 15，代入直线系方程得 l 的方程为 5x3y10.【思维升华】(1)两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点(2)常见的三大直线系方程 与直线AxByC0平行的直线系方程是 AxBym0(mR且mC)与直线AxByC0垂直的直线系方程是 BxAym0(mR)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.跟踪训练2 如图，设一直线过点(1，1)，它被两平行直线l1：x2y1
11、0，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程【解析】与 l1，l2 平行且距离相等的直线方程为 x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1，1)，(1)(1)(2)120.解得 13.所求直线方程为 2x7y50.题型三 距离公式的应用【例3】正方形的中心为点C(1，0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程【思维点拨】中心C到各边的距离相等【解析】点 C 到直线 x3y50 的距离 d|15|19 3 105.设与 x3y50 平行的一边所在直线的方程是 x3ym0(m5)，则点 C 到直线 x3y
12、m0 的距离 d|1m|19 3 105，解得 m5(舍去)或 m7，所以与 x3y50 平行的边所在直线的方程是x3y70.设与 x3y50 垂直的边所在直线的方程是 3xyn0，则点 C 到直线 3xyn0 的距离 d|3n|19 3 105，解得 n3 或 n9，所以与 x3y50 垂直的两边所在直线的方程分别是 3xy30 和 3xy90.【思维升华】正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程 运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先
13、把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式 跟踪训练3 已知点P(2，1)(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由【解析】(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P(2，1)垂直于x轴的直线满足条件 此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知，得|2k1|k21 2，解之得 k34.此时 l 的方程为 3x4y100.综上，可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y
14、100.(2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与PO 垂直的直线，由 lOP，得 klkOP1.所以 kl 1kOP2.由直线方程的点斜式得 y12(x2)，即 2xy50，即直线 2xy50 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为|5|5 5.(3)由(2)可知，过 P 点不存在到原点距离超过 5的直线，因此不存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线题型四 对称问题【例4】已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的
15、方程【思维点拨】解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题【解析】(1)设 A(x，y)，再由已知y2x1231，2x12 3y22 10.解得x3313，y 413.A3313，413.(2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)，则 M(2，0)关于直线 l 的对称点必在 m上 设对称点为 M(a，b)，则 2a223b0210，b0a2231.解得 M613，3013.设 m 与 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60.得 N(4，3)又m经过点 N(4，3)，由两点式得直线方程为 9x46y1020.(3)设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(
16、x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)，P在直线 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.【思维升华】(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题(3)若直线l1、l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上 跟踪训练4(2015湖南长郡中学月考)在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，
17、CA反射后又回到原点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2 B1C.83D.43【解析】建立如图所示的坐标系：可得 B(4，0)，C(0，4)，故直线 BC 的方程为 xy4，ABC 的重心为0043，0403，设 P(a，0)，其中 0a4，则点 P 关于直线 BC 的对称点 P1(x，y)，满足ax2 y02 4，y0 xa（1）1，解得x4，y4a，即 P1(4，4a)，易得 P 关于 y 轴的对称点 P2(a，0)，由光的反射原理可知 P1，Q，R，P2 四点共线，直线 QR 的斜率为 k 4a04（a）4a4a，故直线 QR 的方程为 y4a4a(xa)，由于直线
18、QR 过ABC 的重心43，43，【答案】D 代入化简可得 3a24a0，解得 a43，或 a0(舍去)，故 P43，0，故 AP43.思想与方法系列13 妙用直线系求直线方程 一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系【典例1】求与直线3x4y10平行且过点(1，2)的直线l的方程【思维点拨】因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1)【规范解答】依题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1，2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.
19、【温馨提醒】与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10(C1C)，再由其他条件求C1.二、垂直直线系 由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系可以考虑用直线系方程求解【典例2】求经过A(2，1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程【思维点拨】依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解【规范解答】因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2，1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.【温馨提醒】与直线AxByC0垂直的直线系方程
20、为BxAyC10，再由其他条件求出C1.三、过直线交点的直线系【典例3】求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程【思维点拨】可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解【规范解答】方法一：解方程组x2y40，xy20，得 P(0，2)因为 l3 的斜率为34，且 ll3，所以直线 l 的斜率为43，由斜截式可知 l 的方程为 y43x2，即 4x3y60.方法二：设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解
21、得11.直线l的方程为4x3y60.【温馨提醒】本题法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；法二则采用了过两直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解 方法与技巧 1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意 2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法 失误与防范1在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑2在运用两平行直线间的距离公式 d|C1C2|A2B2时，一定要注意将两方程中 x，y 的系数化为相同的形式
