1、2020 学年第二学期五校联考试题高三年级数学学科命题:绍兴一中考生须知:1本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟;2答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。3所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效;4考试结束后,只需上交答题卷。参考公式:如果事件 A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件 A,B 相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 1(0,1,2,)C,n kkknnP kppkn台体的体积公式112213Vh SS SS其中
2、S1,S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V=Sh其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式V=13Sh其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式S=4R2球的体积公式343VR其中 R 表示球的半径一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知全集1,2,3,4,5U,1,3A,则ACUA1,2,3,4,5B2,4,5C1,3D2.已知 aR,复数2(32)(1)izaaa(i为虚数单位)是纯虚数,则复数12z 的虚部是A.13B.15C.1 i3D.1
3、i53.若实数 x,y 满足约束条件110 xyxyx ,则 z=2x+y 的最小值是A.1B.0C.1D.24.已知,a bR,则“ab”是“ba221”的.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件5.函数 2ln xf xxx的图象大致是ABCD6已知实数 x,y 满足2244xy,则 xy 的最小值是A 2B3C2D 17.已知不全相等的实数,a b c 成等比数列,则一定不可能是等差数列的为A,a c bB222,a b cC|,|,|abcD 1 1 1,a b c8.甲、乙、丙、丁、戊 5 个人分到 A,B,C 三个班,要求每班至少一人,则甲不
4、在 A 班的分法种数有A160B112C100D869.已知三棱锥 ABCD的所有棱长均为 2,E 为 BD的中点,空间中的动点 P 满足PEPA,ABPC,则动点 P 的轨迹长度为A.1116B.38C.112D.310.已知双曲线2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F,P 是双曲线 C 上的一点,且22(,0)2abQ满足12,62F PQF PQ,则双曲线C 的离心率为A 102B132C 2 105D435二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。11.已知某三棱柱的三视图如图所示,那么该三棱柱的体积为_,表面积为_12
5、.已知直线kxyl:与圆12:22yxC,若31k,直线 l 与圆相交于 A,B 两点,则|AB _,若直线 l 与圆相切,则实数k_13.已知6260126(+1)(+1)(+1)xaa xaxa x,则2a=_,126aaa=_.14某同学在上学路上要经过二个红绿灯十字路口,已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为 12.若他在第一个十字路口遇到红灯,则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 13;若他在第一个十字路口遇到绿灯,则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 23.记他在上学路上遇到红灯的次数为,则(0)P _,的数学期望为_.15.已知函数()3sincos,0,3f xxax x 的最小值
6、为 a,则实数 a 所有取值组成的集合为_16.设,a b 为单位向量,则|3|abab的最大值是_17.已知0a,设函数2(22),(02)(),(2)xa xxaf xaxxa,存在0 x 满足00)(xxff,且00)(xxf,则a 的取值范围是_三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.(本题满分 14 分)设常数Rk,已知()cos22 3sin cosf xkxxx(I)若()f x 是奇函数,求 k 的值及()f x 的单调递增区间;(II)设1k,ABC 中,内角,A B C 的对边分别为,a b c 若()1f A ,且 AB
7、C 的面积 Sabc,求 ABC 周长的取值范围.19.(本题满分 15 分)如图,四边形 ABCD 中,满足/ABCD,90ABC,1,3,2ABBCCD,将 BAC沿 AC 翻折至 PAC,使得2PD.()求证:平面 PAC 平面 ACD;()求直线CD 与平面 PAD 所成角的正弦值.20.(本题满分 15 分)已知数列 ,nnab中,111,2ab,112(1)nnnnaab,11(1)nnnnbab ,*Nn.(I)证明(1)nnnab 是等比数列,并求 na的通项公式;(II)设2lognnncab,求数列 nc的前 n2项和nS2.21.(本题满分 15 分)如图,已知椭圆221
8、22:1(0)xyCabab与抛物线22:4Cyx共焦点 F,且椭圆的离心率为 12,(I)求椭圆1C 的方程;(II)若点 P 在射线4(2)xy上运动,点 A,B为椭圆1C 上的两个动点,满足 AB/OP,且 Q 为AB 的中点,连接 PF 交抛物线2C 于 G、H 两点,连接 OQ 交椭圆1C 与 M、N 两点,求四边形MGNH 面积的取值范围.22.(本题满分 15 分)已知32(),(,R)6xef xaexbxcx a b c,(e 为自然对数的底数,e2.71828).(I)当0a 时,若函数()f x 与直线 yex相切于点(1,)e,求,b c 的值;(II)当1ae时,若对
9、任意的正实数 b,()f x 有且只有一个极值点,求负实数c 的取值范围.2020 学年第二学期五校联考参考答案高三年级数学学科一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。BBCAADDCCD二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。11.1,5512.5152;3313.15,1 14 1,1615.3【填 3 不扣分】16.8 3317.121 a三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.解析:(I)由题意知,f(0)=k=0,得k=0,(2分)下面对k=0进行检验:若k=0,
10、则,f(x)=23 sinxcosx=3sin 2x对任意xR都有()3sin(2)3sin 2()fxxxf x ,f(x)是奇函数,k=0(4分)又因()3sin 2f xx,由 222,22kxkkZ,得,44kxkkZ,f(x)的单调递增区间为,44kkkZ(7分)(II)当k=1时()cos23sin 22sin(2)6f xxxx,(9分)(A)2sin(2)16fA;得1sin(2)62AA(0,),132(,)666A,3A(11分)由S=abc=12bcsinA,可知:2a=sinA,2c=sinC,2b=sinBABC的周长为a+b+c=12(sinA+sinB+sinC)
11、=12sinB+sin(23-B)+34=12(sinB+32cosB+12sinB)+34=12(32sinB+32cosB)+34=32sin(B+6)+34B(0,23),B+6(6,56),sin(B+6)(12,1,ABC的周长的取值范围为(32,3 34(14分)19.解析:()证明:过B 作ACBO,垂足为O,连,PO DO,则 POAC,作 DEAC,垂足为 E,则1133,22DEOEDO所以222PODOPD,即 POOD.(3 分)又 ACDOO,所以 PO 平面 ACD,(5 分)又 PO 平面 PAC,所以平面 PAC 平面 ACD;(7 分)()以 O 为坐标原点,
12、OC,BO 所在的直线为,x y 轴建立空间直角坐标系则1313(,0,0),(,0,0),(,3,0),(0,0,),2222ACDP(1,3,0)AD,13(,0,),22AP(10 分)设平面 PAD 的法向量为),(cban,则1302230.AP nacAD n ab 取法向量(3,1,1)n ,(12 分)(1,3,0)CD ,设直线 CD 与平面 PAD 所成角为,则15sin|cos,|5CD n .(15 分)法二、体积法133143 422P ACDV ,1 1151513 2212C PADVhh ,得2 155h 所以2 15 115sin525hCD 20.解析:(I
13、)112(1)nnnnaab,11(1)nnnnbab ,1112()3(1)nnnnnabab,(2 分)111(1)2(1)nnnnnnabab,且11(1)4ab 所以(1)nnnab 是等比数列.(4 分)11(1)4ab,1(1)2nnnnab,即12(1)nnnnab 又112(1)nnnnaab,1112(1)nnna ,又11a 故2(1)2nnnnnab,(7 分)(II)因为2(1)nnncnn,(9 分)记23221 2223 222 nnTn 则23421221 2223 222 nnTn (11 分)两式相减,得212(21)22nnTn(13 分)所以212(21)
14、22nnSnn(15 分)21:解:(I)因为24yx,所以12pc,又因为12ca,所以2a,椭圆方程为22143xy.(4 分)(II)设(4,)(2)Pt t 4ABOPtkk,由点差法可得34OQABkk,可得3=OQkt(6 分)将直线:OQl3=yxt与椭圆22143xy 联列,222412txt,解得2222949|=1+41212ttMNttt(8 分)将直线:PFl3=1xyt 与抛物线24yx联列,得21240yyt,12,4GHGHyyy yt ,222291444(9)|116tGHttt(10 分)又因为1OQFPkk ,所以23228(9)1|212tSMNGHtt
15、四边形MGNH(12 分)令24,)tm,则32(9)()(12)mf mmm,2423(9)(572)()0(12)m mmfmmm,所以()f m 为单调递减,则3213()116f m(,所以四边形 MGNH 面积的取值范围为13 1382(,(15 分)22.解析:()当0a 时,32()6ef xxbxcx,2()22efxxbxc,(2 分)由题知(1)fe且(1)fe,所以622ebceebce,解得5,36eebc.(5 分)()当1ae时,132()6xef xexbxcx,则12()22xefxexbxc,令12()22xeh xexbxc,则1()2xh xeexb,令1
16、()2xt xeexb,则1()xt xee,当(,2)x 时()0t x,()t x 在(,2)上单调递减,当(2,)x 时()0t x,()t x 在(2,)上单调递增,所以min()(2)2t xtbe.(8 分)(1)当2eb 时,()()0t xh x恒成立,所以()fx 在 R 上单调递增,故()0fx 在 R 上有唯一解,所以()f x 有且只有一个极值点.(10 分)(2)当 02eb时,(2)20tbe,所以()t x 有两个零点12,x x,即方程120 xeexb 有两根12,x x,又因为1(0)0tbe,所以1202xx,所以()h x 在1(,)x上单调递增,在12
17、(,)xx上单调递减,在2(,)x 上单调递增,所以要使()h x 只有一个变号零点只需1()0h x或2()0h x.首先考虑:1 12111()22xeh xexbxc1 1211(1)2xex exc(102x),令12()(1)2xep xx exc,1()()xp xx ee,即()p x 在(0,2)上单调递增,所以()(2)p xp,要使1()0h x恒成立,只需(2)0p即可,即ce .其次考虑:2 12222()(1)2xeh xx exc,因为()p x 在(2,)上单调递减,同理可得,所以要使得2()0h x恒成立不可能,即 c 无解.综上可知:c 的取值范围为ce .(15 分)