1、单元质检十二概率(A)(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第23页一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知函数f(x)=2x(x0),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数x,则xD的概率是()A.12B.13C.14D.23答案:B解析:函数f(x)=2x(xk)=P(Xk)=P(Xk-4),k+(k-4)=25,k=7,故选B.6.设随机变量X服从二项分布XB5,12,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是()A.56B.45C.3132D.12答案:C解析:函数f(x)=x2+4x+X存在零点,=16-4X0,X4.随机变量X服从二项分布XB5,12
2、,P(X4)=1-P(X=5)=1-125=3132.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处通行的概率分别为13,12,23,则汽车在这三处停车一次的概率为.答案:718解析:设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,停车为A,B,C,则P(A)=13,P(B)=12,P(C)=23,停车一次即为事件(ABC)(ABC)(ABC)发生,故所求概率为1-131223+131-1223+13121-23=718.8.在区间0,1上随机抽取两个数x,y,则事件“xy12”发生的概率为.答案:1-ln22解析:设P(x,y).0x1,
3、0y1,点P落在正方形OABC内部(含边界),如图.作曲线y=12x,交正方形OABC于D,E两点,则满足条件xy12的点P落在区域BDE内(含边界),如图阴影部分所示.由于S阴影=121-121 12xdx=12-12ln 2.因此“xy12”发生的概率为S阴影S正方形OABC=12-12ln 2.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求所选3人中最多有1名女生的概率.解:(1)由题意知本题是一个超几何分布,随机变量X表示所选3人中女生的人数,X的可能取值为0,1,2,且
4、P(X=k)=C2kC43-kC63,k=0,1,2,P(X=0)=C20C43C63=15,P(X=1)=C21C42C63=35,P(X=2)=C22C41C63=15,X的分布列为X012P153515(2)由(1)知所选3人中最多有1名女生的概率为P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=45.10.(15分)某学校就某岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试,用“十分制”以茎叶图方式记录了他们对该岛的了解程度,分别以分数中小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.(1)指出这组数据的众数和中位数;(2)若所得分数不低于9.5分,则称该学生对该岛“非常了解”.求从这16人中随机选取3
5、人,求至多有1人“非常了解”的概率;(3)以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据,若从该所学校(人数可视为很多)任选3人,记表示抽到“非常了解”的人数,求的分布列及均值.解:(1)众数:8.6;中位数:8.7+8.82=8.75.(2)设Ai表示所取3人中有i人对该岛“非常了解”,至多有1人对该岛“非常了解”记为事件A,则P(A)=P(A0)+P(A1)=C123C163+C41C122C163=121140.(3)的可能取值为0,1,2,3.P(=0)=343=2764;P(=1)=C3114342=2764;P(=2)=C3214234=964;P(=3)=143=164.所以的
6、分布列为0123P27642764964164E()=02764+12764+2964+3164=0.75.另解 的可能取值为0,1,2,3,则B3,14,P(=k)=C3k14k343-k.所以E()=314=0.75.11.(15分)(2019北京,理17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额(元)支付方式(0,1 000(1 000,2 000大于2
7、 000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.解:(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A
8、,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4.(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”.由题设知,事件C,D相互独立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.6.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CDCD)
9、=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4(1-0.6)+(1-0.4)0.6=0.52,P(X=0)=P(C D)=P(C)P(D)=0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)=00.24+10.52+20.24=1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2 000 元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1C303=14 060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.
