1、单元质检卷六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019北京海淀一模,3)已知等差数列an满足4a3=3a2,则an中一定为零的项是()A.a6B.a8C.a10D.a122.等比数列an中,若a4a5a6=8,且a5与2a6的等差中项为2,则公比q=()A.2B.12C.-2D.-123.已知等差数列an的前n项和为Sn,若2a6=a8+6,则S7=()A.49B.42C.35D.244.(2019湖南湘潭二模)已知数列an为等比数列,首项a1=2,数列bn满足bn=log2an,且b2+b3+b4=9,则a5=()A.8B.
2、16C.32D.64二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.将n2个数排成n行n列的一个数阵,如下图:a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S,下列结论正确的有()A.m=3B.a67=1737C.aij=(3i-1)3j-1D.S=14n(3n+1)(3n-1)6.若无穷数列an满足:a10,当nN*,n2时,|an-an-1|=maxa1,a2,an
3、-1(其中maxa1,a2,an-1表示a1,a2,an-1中的最大项),以下结论中正确的是()A.若数列an是常数列,则an=0(nN*)B.若数列an是公差d0的等差数列,则d1D.若存在正整数T,对任意nN*,都有an+T=an,则a1是数列an的最大项三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知等差数列an的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列,则a1=;数列an的前n项和Sn=.8.已知数列an,若a1+2a2+nan=2n,则数列anan+1的前n项和为.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019全国2,文18)已知an是各项均为正数的等比数列,
4、a1=2,a3=2a2+16.(1)求an的通项公式;(2)设bn=log2an,求数列bn的前n项和.10.(15分)已知数列an满足a1a2a3an-1an=n+1(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an+1an,求数列bn的前n项和Sn.11.(15分)(2019安徽安庆二模,17)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足对任意的nN*都有an+1+Sn+1=1,又a1=12.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=log2an,求1b1b2+1b2b3+1bnbn+1(nN*).参考答案单元质检卷六数列(A)1.A4a3=3a2,4a1+8d=3a1+3d,则
5、a1+5d=0,即a6=0.2.B根据题意,等比数列an中,若a4a5a6=8,则(a5)3=8,解得a5=2,又由a5与2a6的等差中项为2,则a5+2a6=4,解得a6=1,则q=a6a5=12.故选B.3.B设等差数列an的公差为d,2a6=a8+6,2(a1+5d)=a1+7d+6,a1+3d=6,即a4=6.由等差数列的性质可得a1+a7=2a4.S7=7(a1+a7)2=7a4=42.故选B.4.C设等比数列an的公比为q,已知首项a1=2,所以an=2qn-1,所以bn=log2an=1+(n-1)log2q,所以数列bn是等差数列.因为b2+b3+b4=9,所以3b3=9,解得
6、b3=3,所以a3=23=2q2,解得q2=4,所以a5=224=32.故选C.5.ACD由题意,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,且a11=2,a13=a61+1,可得a13=a11m2=2m2,a61=a11+5d=2+5m,所以2m2=2+5m+1,解得m=3或m=-12(舍去),所以选项A是正确的;又由a67=a61m6=(2+53)36=1736,所以选项B不正确;又由aij=ai1mj-1=a11+(i-1)mmj-1=2+(i-1)33j-1=(3i-1)3j-1,所以选项C是正确的;又由这n2个数的和为S,则S
7、=(a11+a12+a1n)+(a21+a22+a2n)+(an1+an2+ann)=a11(1-3n)1-3+a21(1-3n)1-3+an1(1-3n)1-3=12(3n-1)(2+3n-1)n2=14n(3n+1)(3n-1),所以选项D是正确的.故选ACD.6.ABCD若数列an是常数列,由|an-an-1|=maxa1,a2,an-1,可得maxa1,a2,an-1=0,则an=0(nN*),故A正确;若数列an是公差d0的等差数列,由maxa1,a2,an-1=|d|,若d0,即有数列递增,可得d=an,即数列为常数列,不成立;若d0,可得数列递减,可得-d=a1成立,则d1,a1
8、0,则数列递增,由maxa1,a2,an-1=an-1,可得an-an-1=an-1,可得an=2an-1,则q1,故C正确;假设a1不是数列an的最大项,设i是使得aia1的最小正整数,则|ai+1-ai|=maxa1,a2,ai=ai,因此ai+1是ai的倍数,假设ai+1,ai+2,ai+k-1都是ai的倍数,则|ai+k-ai+k-1|=maxa1,a2,ai+k-1=maxa1,ai+1,ai+k-1,因此,ai+k也是ai的倍数,由第二数学归纳法可知,对任意ni,an都是ai的倍数,又存在正整数T,对任意正整数n,都有aT+n=an,故存在正整数mi,am=a1,故ai是a1的倍数
9、,但aia1,故a1不是ai的倍数,矛盾,故a1是数列an的最大值,故D正确.故选ABCD.7.2n2+n数列an是公差为2的等差数列,且a1,a2,a4成等比数列,a1,a1+2,a1+6成等比数列,(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2;数列an的前n项和Sn=2n+n(n-1)22=n2+n.8.4nn+1因为a1+2a2+nan=2n,所以a1+2a2+(n-1)an-1=2(n-1),两式相减得nan=2,则an=2n,设数列anan+1的前n项和为Sn,anan+1=2n2n+1=41n-1n+1,则Sn=a1a2+a2a3+a3a4+anan+1=41-12+12-13+
10、1n-1n+1=41-1n+1=4nn+1.9.解(1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为1+3+2n-1=n2.10.解(1)数列an满足a1a2a3an-1an=n+1,当n2时,a1a2a3an-1=n,得an=n+1n,当n=1时,a1=2也满足上式,所以数列an的通项公式为an=n+1n.(2)由于an=n+1n,所以bn=an+1an=n+1n+nn+1=1+1n+1-1n+1=2+1n-1
11、n+1,则Sn=2+1-12+2+12-13+2+1n-1n+1=2n+1-1n+1=2n+1-1n+1.11.解(1)由an+1+Sn+1=1,得an+Sn=1(n2,nN*),-得2an+1-an=0,即an+1=12an(n2,nN*).由a2+S2=a2+(a1+a2)=1,a1=12,得a2=14=12a1,所以an+1=12an(nN*),则数列an是首项和公比都为12的等比数列,因此an=12n(nN*).(2)由an=12n,得bn=log2an=-n,所以1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1,所以1b1b2+1b2b3+1bnbn+1=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.
