1、单元质检卷二函数(时间:100分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.(2019山东日照三校一月联考,5)下列函数是偶函数且在(0,+)上为增函数的是()A.y=12|x|B.y=|ln x|C.y=x2+2|x|D.y=2-x2.若a=1223,b=1523,c=1213,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bcaD.bac3.函数f(x)=x22|x|-4的图象大致为()4.(2019山东实验中学模拟,6)已知偶函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,且a=log 52,b=ln 2,c=-20.1,则f(a),f(b),f(c)满足(
2、)A.f(b)f(a)f(c)B.f(c)f(a)f(b)C.f(c)f(b)f(a)D.f(a)f(b)0;f(-1)=0.则下列选项成立的是()A.f(3)f(-4)B.若f(m-1)0,则x(-1,0)(1,+)D.xR,MR,使得f(x)M三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019浙江宁波期中)已知函数f(x)=|x|,x0,x,x0,则f(f(-2)=;若f(a)=2,则实数a=.14.若函数f(x)=loga(x+5)+1(a0且a1),图象恒过定点P(m,n),则m+n=;函数g(x)=ln(x2+m)的单调递增区间为.15.(2019广东广雅中学模拟)对
3、于函数f(x),如果存在x00,使得f(x0)=-f(-x0),则称(x0,f(x0)与(-x0,f(-x0)为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=ex-a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点,则实数a的取值范围是.16.(2019湖北黄冈中学模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形ABCD,腰与底边夹角为60(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为93平方米,且高度不低于3米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的取值范围为.四、解答题(本大题共5小题,共70分)1
4、7.(14分)(2019上海徐汇区一模)已知函数f(x)=ax-2x+2,其中aR.(1)解关于x的不等式:f(x)-1;(2)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+)上是单调减函数.18.(14分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:E=t2+20t+16a;3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.(1)当a
5、=1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E=f(t),并求出游玩6小时的累积经验值;(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.19.(14分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润
6、?20.(14分)已知二次函数y=f(x)在x=t+22处取得最小值-t24(t0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若函数y=f(x)在区间-1,12上的最小值为-5,求此时t的值.21.(14分)已知函数f(x)=lgx+ax-2,其中x0,a0.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x2,+)恒有f(x)0,试确定a的取值范围.参考答案单元质检卷二函数1.CA选项:当x0时,y=12x,此时函数单调递减,故A错误;B选项:函数定义域为(0,+),故函数为非奇非偶函数,故B错误;C选项:(-x)2+2|-x|=x2+2|x|,函数为偶函数;当x0时,y=x2+2x
7、,此时x2和2x均为增函数,所以整体为增函数,故C正确;D选项:y=2-x=12x为非奇非偶函数,且在(0,+)上单调递减,故D错误.2.Dy=x23(x0)是增函数,a=1223b=1523.y=12x是减函数,a=1223c=1213,bac.3.D根据题干中的表达式得|x|2,故f(x)为偶函数,排除A,B,图中必有渐近线x=2或x=-2,当x从x轴正方向趋向于2时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于+,故排除C,故选D.4.D0a=log52b=ln2lne=12,f(a)f(b)f(1),f(a)f(b)f(c),故选D.5.Cx2+ax+100x12ax-(x2+1)a-x
8、+1x,函数f(x)=x+1x在(0,1)上是减函数,当x0,12时,f(x)f12=12+2=52,-x+1xmax=-52,即a-52,a的最小值是-52.6.B函数f(x)=12x-sinx在0,2上的零点个数为函数y=12x的图象与函数y=sinx的图象在0,2上的交点个数.在同一坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示,由图象可知,两个函数的图象在区间0,2上有两个不同的交点,故选B.7.C由题意可知,函数f(x)在(-,0上单调递减,且f(-1)=0,令x-1=t,则tf(t)0.当t0时,f(t)0,0t1;当t0,-xex,x0时,由f(x)=xex,得f(x)=ex+xex=e
9、x(x+1)0,f(x)在(0,+)上为增函数;当x0;当x(-1,0)时,f(x)0,当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=1e.作出函数f(x)=|x|ex(x0)的图象的大致形状如图所示.令f(x)=t,则方程f(x)+2f(x)-=0化为t+2t-=0,即t2-t+2=0,要使关于x的方程f(x)+2f(x)-=0有四个相异实根,则方程t2-t+2=0的两根一个在0,1e上,一个在1e,+上.则1e2-e+22e+1e.实数的取值范围是2e+1e,+.故选D.9.ABCf(x+1)与f(x+2)都为奇函数,f(-x+1)=-f(x+1),f(-x+2)=-f(x+2),由可
10、得f-(x+1)+1=-f(x+1+1),即f(-x)=-f(x+2),由得f(-x)=f(-x+2),即f(x)的周期为2,f(x)=f(x+2),则f(x)为奇函数,f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数,故选ABC.10.AB指数函数y=ax在区间-1,1上的最大值和最小值的和为52,当a1时,可得ymin=1a,ymax=a,那么1a+a=52,解得a=2,当0a0,说明函数在(0,+)是增函数;f(-1)=0.所以f(3)f(4)=f(-4)成立,所以A不正确;若f(m-1)f(2),可得|m-1|0,又f(-1)=0,可得x(-1,0)(1,+),所以C正确;因为函数是
11、连续函数,又是偶函数,在x0时是增函数,所以xR,MR,使得f(x)M,正确;故选CD.13.2-2或4函数f(x)=|x|,x0,x,x0,f(-2)=|-2|=2,f(f(-2)=f(2)=2;f(a)=2,当a0时,f(a)=|a|=2,解得a=-2;当a0时,f(a)=a=2,解得a=4.综上,实数a的值为-2或4.14.-3(2,+)当x+5=1时,即x=-4,不论a为什么使函数有意义的数,函数值都为1,即恒过(-4,1),m=-4,n=1,m+n=-3;函数g(x)=ln(x2-4),定义域为(-,-2)(2,+),令u(x)=x2-4,u(x)0,递增区间为(2,+),g(u)=
12、lnu在定义域内为增函数,复合函数g(u(x)根据同增异减性质,函数g(x)递增区间为(2,+).15.(1,+)依题意,知f(x)=-f(-x)有非零解,由f(x)=-f(-x)得ex-a=-(e-x-a),即a=12ex+1ex1(x0),所以当f(x)=ex-a存在奇对称点时,实数a的取值范围是(1,+).16.3,4根据题意知93=12(AD+BC)h,其中AD=BC+2x2=BC+x,h=32x,所以93=12(2BC+x)32x,得BC=18x-x2,由h=32x3,BC=18x-x20,得2x6.所以y=BC+2x=18x+3x2(2x6),由y=18x+3x210.5,解得3x
13、4.因为3,42,6),所以腰长x的取值范围为3,4.17.解(1)不等式f(x)-1即为ax-2x+2-1(a+1)xx+20.当a-1时,不等式解集为(-2,0.(2)任取0x1x2,则f(x1)-f(x2)=ax1-2x1+2-ax2-2x2+2=2(a+1)(x1-x2)(x1+2)(x2+2),0x1x2,x1-x20,x2+20,要使f(x)在(0,+)上单调递减,即f(x1)-f(x2)0,只要a+10,即a-1,故当a-1时,f(x)在区间(0,+)上是单调减函数.18.解(1)E=f(t)=t2+20t+16,0t3,85,35,t=6时,E(6)=35.(2)0t3时,H(
14、t)=t+16at+20,H(t)24t+16at4,由0t3,得a-116t2+14t=-116(t-2)2+1414.所以a14,+.19.解(1)设每团人数为x,由题意得0x75(xN*),飞机票价格为y元,则y=900,0x30,900-10(x-30),30x75,即y=900,0x30,1200-10x,30x75.(2)设旅行社获利S元,则S=900x-15000,0x30,1200x-10x2-15000,30x75,即S=900x-15000,0x30,-10(x-60)2+21000,300).因为f(1)=0,所以t24(a-1)=0.又因为t0,所以a=1,所以f(x)
15、=x-t+222-t24(t0).(2)因为f(x)=x-t+222-t24(t0),所以当t+22-1,即t12,即t-1时,f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).综上所述,t=-92.21.解(1)由x+ax-20,得x2-2x+ax0.因为x0,所以x2-2x+a0.当a1时,x2-2x+a0恒成立,函数f(x)的定义域为(0,+);当a=1时,函数f(x)的定义域为x|x0,且x1;当0a1时,函数f(x)的定义域为x|0x1+1-a.(2)对任意x2,+)恒有f(x)0,即x+ax-21对x2,+)恒成立,故a3x-x2对x2,+)恒成立.令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-x-322+94在2,+)内是减函数,于是h(x)max=h(2)=2.故a2,即a的取值范围是a|a2.
