1、重庆八中高2022级高二（下）数学周考（三）一选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2若随机变量的分布列如下所示：且，则的值分别是（ ）A04，01B01，04C03，02D02，033. 已知随机变量服从正态分布，,则（ ）A. B. C. D. 4张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位大人，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A. 144
2、 B. 124 C. 72 D. 365. 的展开式中常数项为（ ）A. -240B. -160C. 240D. 1606为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派包括甲在内的5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，每种题型至少指派一名教师，若甲必须改编解答题，则不同分派方法种数为（ ）A. 36种 B. 50种 C. 120种 D. 150种7.已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个.每次从该箱中取1个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次.设事件：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件：“三次取到的球颜色都相同”，则等于()A B C D8已
3、知双曲线左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D二选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.设产品的次品率为0.01，若任意抽取10件产品，其中次品的数量为，则下列结论正确的是（ ）A. B.C. D.10下列命题中，正确命题有（ ）A.已知随机变量服从二项分布，若，则B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量服从正态分布，若，则D.某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.11.甲
4、箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随即取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A. B. C.事件与事件相互独立 D.两两互斥12一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法正确的是（ ）ABCD三填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡相应位置上）13设是虚数单位，若复数是纯虚数，则_14.设，则_.15. 四色猜想是近代
5、数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为_（用数字作答）16.设函数，则满足的取值范围是 四解答题（本大题共6小题，共70分请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程）17（本小题满分10分）如图，在正方体中，为的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值18（本小题满分12分）某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动今年活动的主题为“购物三
6、选一，真情暖心里”，符合条件的会员可以特价购买礼包（十斤肉类）礼包（十斤蔬菜）和礼包（十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据购买的礼包不同可以获赠价值不等的代金券.根据以往经验得知，会员购买礼包和礼包的概率均为（1）预计今年有400名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合理；（2）在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互独立，已知购买礼包或礼包均可以获得50元商场代金券，购买礼包可以获得25元商场代金券，设是三人获得代金券金额之和求的分布列和数学期望19（本小题满分12分）在锐角中，设角所对的边长分别为，且（1）求的大小；（2）若，点在边
7、上，_，求的长请在；这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分)20（本小题满分12分）已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且（1）求抛物线的方程；（2）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点记直线的斜率分别为，若，求直线的方程21.（本小题满分12分）从某生产线上生产的产品中随机抽取500件，测量这些产品的某一项指标，由测量结果得到如下的频数分布表：数据分组频数3080901201005030（1）求这500件产品该项指标的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为
8、，这种产品的该项指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算得，根据所提供的数据完成：求；行业规定：若产品的指标值在之内，则称该产品称为一等品，否则称为二等品；已知生产一件一等品利润是15元，生产一件二等品将亏损5元，假设生产状态正常，求该生产线上生产的10000件产品所得总利润的数学期望附：（1）若随机变量服从正态分布 ，则，；（2）22（本小题满分12分）已知函数有两个不同的零点（1）求实数的取值范围；（2）若函数的两个不同的零点为，且，当时，证明：重庆八中高2022级高二（下）数学周考（三）参考答案一选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中
9、，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DBBACBBD详细解答：【1】所以位于第四象限。【2】由随机变量X的分布列得，所以，又因为，解得，所以，故选B【3】由正态曲线对称性可得。【4】分3步进行分析：先分派两位大人，必须一首一尾，有种排法；两个小孩一定要排在一起，将其视为一个元素，考虑其顺序有种排法；将两个小孩与两位大人进行全排列，有种排法；则共有种排法，故选A【5】由题意，二项式展开式的通项为，当时，即展开式的常数项为，故选C.【6】若甲一个人去改编解答题，则剩下4人按照1+3和2+2分配到选择题和填空题，于是分配方法数为；若甲和另外一个人一起去改编解答题，则剩下3人按照1+2
10、分配到选择题和填空题，于是分配方法数为；若甲和另外两个人一起去改编解答题，则剩下2人按照1+1分配到选择题和填空题，于是分配方法数为；于是总的方法数为，故选B【7】由题意得【8】由题可知，若即为可得.即有，由双曲线的定义可知可得.由于过的直线斜率为所以在等腰三角形中，则，由余弦定理得: ，化简得即可得所以此双曲线的渐近线方程为.故选D二选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）题号9101112答案ADBCDBDABD【9】由题意知则D选项正确，B选项错误。由二项分布公式有A正确，C错误。【10
11、】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，所以A错误；根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B正确；由正态分布的图像的对称性可得，所以C正确；由独立重复试验的概率的计算公式可得，由，得，即时，同理得时，即最大，所以D正确【11】解：因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，是两两互斥的事件，因为，所以，所以（B），于是事件与事件不相互独立故选：【12】由题意知：设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，爬行次后小虫一共向前爬行次，则向后爬行次，有，故则，故A、B正确；，即，有，故C错误；，即，有，故D正
12、确，三填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡相应位置上）题号13141516答案详细解答：【13】依题意有：，解得【14】所以【15】设五个区域分别为，依题意由公共边的两个区域颜色不同，用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，可以是与，与，与同色，有涂色方法；或用三种颜色涂色，则有2组颜色同色，为与同色，与同色，有涂色方法，根据分类加法原理，共有涂色方法.故答案为：.【16】为奇函数，且所以从而由单调性四解答题（本大题共6小题，共70分请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程）【17】（1）在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面
13、，平面；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、，设平面的法向量为，由，得，令，则，则因此，直线与平面所成角的正弦值为【18】（1）会员购买礼包的概率为，所以准备鸡蛋：（斤）（2）的所有可能取值为150，125，100，75，所以的分布列如下15012510075所以【19】（1）在中，由正弦定理及，得因为为锐角三角形，所以，所以所以因为，所以（2）若选在中，由余弦定理，得，所以，所以在中，由余弦定理，得，即，在中，由余弦定理，得，即又，所以所以，所以若选在中，即，即，解得若选在中，由余弦定理，得，所以因为，又，所以，解得【20】（1）由题意，代入，得，抛物线的方程为（2）当直线的斜率不存在时，与题意不符，所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为代入到中，设，则，所以直线的方程为【21】（1）（2）经计算：，于是：记这10000件产品中一等品数量为随机变量，则依题意有：，于是，而，于是【22】（1）由题意得在上有两个不同的实根，而，当时，此时在上单调递减；当时，此时在上单调递增；所以在的最小值为所以即，易得，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以当时，在和上各有一个实根，故实数的取值范围为（2）证明：由（1）可得，而，设，令，于是，由于，故，即在上单调递增，所以所以当时，即，又在上递减，而，所以，即
