1、高一重点班开学考试数学试题第I卷（选择题 共60分）一、选择题(每小题5分，共60分)1设集合， ，则（）A. B. C. D. 2若直线与直线相11交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D. 3若，则()A. B. C. D. 4下列函数中,既是偶函数又在区间上递增的函数为A. B. C. D. 5. 函数y=1, 则下列说法正确的是A.y在(1,+)内单调递增B.y在(1,+)内单调递减C.y在(1,+)内单调递增D. y在(1,+)内单调递减6. 正方体的内切球与外接球的半径之比为A1B2C1D27. 已知直线与直线互相垂直,则实数a的值为A-1或2B-1
2、或-2C1或2D1或-28. 下列命题中错误的是A 若，则 B若， 则C若，则 D若，则 9、定义矩阵，若，则（ ）A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称C.在区间上的最大值为1 D. 周期为的奇函数10、下列说法正确的是（ ）A. 若非零向量是共线向量，则A,B,C,D四点共线B. 若O为ABC所在平面内一点，且，则点O是ABC的外心。 C. 已知点P为ABC所在平面内一点，且，则点P是ABC的垂心。 D. 若三角形ABC为直角三角形，则。11、设函数f（x）=Asin（x+）（A，是常数，A0，0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A BC D12、已知在中，角都是锐角，
3、且，则的最大值为（ ）A. B C D第卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应位置上）。13求过(2,3)点，且与(x3)2y21相切的直线方程为14若，则的定义域为 15某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 16已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（本小题满分10分）已知函数，其中且，设（1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，
4、并说明理由；（3）若，求使成立的x的集合18（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元（1）设对乙产品投入资金万元，求总利润（万元）关于的函数关系式及其定义域；（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？19.(本小题满分12分）如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”.（1）试判断函数是否为“可拆分函数”？并说明你的理由；（2）证明：函数为“可拆分函数”；（3）设函数为“可拆分函数”，求实数的取值
5、范围.20（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为，它的一个对称中心为（，0）(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值21.已知圆的圆心为，直线.(1)求圆心的轨迹方程；(2)若，求直线被圆所截得弦长的最大值；(3)若直线是圆心下方的切线，当在上变化时，求的取值范围.22.如图1，在等腰直角三角形中，、分别是，上的点，为的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.(1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值.CCDC CCBD CCDA13 或 14 15. 16. 17【解】
6、（1）要使函数有意义，则，计算得出，故h(x)的定义域为； （2） 故h(x)为奇函数 （3）若f(3)=2， ，得a=2， 此时，若，则， ，得， 所以不等式的解集为 18【解】（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（150x）（万元）（25x125）所以 4分其定义域为25，125 （2）令，因为x25，125，所以t5，5，有 当时函数单调递增，当时函数单调递减， 所以当t=6时，即x=36时，ymax=203 答：当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万元 19.解:(1)假设f(x)是“可分拆函数”,则存在x0,使得 即 ,而此方程的判别式
7、=1-4=-30,方程无实数解,所以,f(x)不是“可分拆函数”(2)证明:令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1),则h(x)=2x+1+(x+1)2-2x-x2-2-1=2(2x-1+x-1)又h(0)=-1,h(1)=2,故h(0)h(1)0所以, 令 ,则t0,所以, 由t0得 ,即a的取值范围是 20.(1)f(x)sin(2x3)令2x3k2(kZ)，得x512k2(kZ)，即函数yf(x)图象的对称轴方程为x512k2(kZ)(2)由条件知sin(2x13)sin(2x23)130，设x1x2，则0x1512x223，易知(x1，f(x1)与(x2，f(x2)关于直线x512
8、对称，则x1x256，cos(x1x2)cosx1(56x1)cos(2x156)cos(2x13)2sin(2x13)13.21.(1圆的圆心坐标为.所以圆心的轨迹方程为.(2)已知圆的标准方程是.则圆心的坐标是，半径为.直线的方程化为：，则圆心到直线的距离是，设直线被圆所截得弦长为，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：，当时，的最大值为.(3)因为直线与圆相切，则有.即.又点在直线上方，即，.，.22.(1)在图1、2中，连接，易得，因为，所以,，即，所以平面.(2)在图2中设，交于点，取中点，连接，则，则就是二面角的平面角，其中，.(3)取中点，连接和，作，则平面，所以就是直线与平面所成的角，易得，所以.
