1、考前自测数 学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至4页全卷共150分，考试时间为120分钟 第卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1、是虚数单位，若集合，则A B C D2、高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为A13 B17 C19 D213、展开式中项的系数为A1 B C2 D4、已知，命题，则A是假命题， B是假命题，C是真命题， D是真命题，5、
2、在空间中，给出下列四个命题：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线。其中正确的是A B C D6、已知直线，其中为常数且，则错误的结论是正视图2211侧视图俯视图A直线的倾斜角为； B无论为何值，直线总与一定圆相切；C若直线与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；D若是直线上的任意一点，则；7、某几何体的三视图如图所示，则其侧面的直角三角形的个数为A4 B3C2 D18、设，则的最小值是A B C
3、D开始输入输出结束是否9、执行如图所示的程序框图，输入的，输出的的范围为不等式的解集，则的值为A BC D210、一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数O1的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是A BC D第二部分 （非选择题 共100分）二.填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 .12、若等差数列满足，则当_ _时，的前项和最大；BAC13、已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF轴，则双曲线的离心率为 ；14、通
4、讯卫星C在赤道上空（为地球半径）的轨道上，它每24小时绕地球一周，所以它定位于赤道上某一点的上空。如果此点与某地A（北纬）在同一条子午线上，则在A观察此卫星的仰角的正切值为 ；15、设定义域为的函数的图像的为C。图像的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量，且满足，又设向量。现定义函数在上“可在标准下线性近似”是指恒成立，其中，为常数。给出下列结论：（1）A、B、N三点共线 （2）直线MN的方向向量可以为（3）函数在上“可在标准1下线性近似”（4）若函数在上“可在标准下线性近似”，则.其中所有正确结论的序号是 。三.解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证
5、明过程或演算步骤16.(本题满分12分)在中，记（角的单位是弧度制），的面积为S，且，。（1）求的取值范围；（2）根据（1）中的取值范围，求函数的最大值和最小值。ABCDE17(本题满分12分)如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC， ，AB=AC=AE。（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP平面EAB？请证明你的结论；（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。18(本题满分12分)已知在数列中，当时，其前项和满足。（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，求证：。19(本题满分12分)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于10
6、0表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气质量重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天。150空气质量指数501002002501日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日13日14日日期86255714322016040217160121158867937（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）。20(本题满分13分)设点P为圆上的动点，过点P作轴的垂线，垂足为Q，点M满足。（1）求点M的轨迹的方程；OPM
7、QACDBT（2）过直线上的点T作圆的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与（1）中的曲线交与C、D两点，求的取值范围。21(本题满分14分)已知函数（1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）证明：对任意的及都有成立。1 5 9 2 6 10 3 7 4 8 第二卷（非选择题100分）考生需用0.5毫米黑色签字笔书写二、填空题（共25分）11_ 12_8_13_ 14_15_(1)(2)(4)_三、 解答题16（12分）解：（1）因为，所以，又，所以，又，所以，所以，的取值范围是：；（2）因为，即，所以，。17（12分）解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P。证明如下：取AB
8、的中点F，连接DP、PF、EF，则，取AC的中点M，连接EM、EC，因为，AE=AC，且，所以，是正三角形，所以，即四边形EMCD是矩形，所以，所以，且，所以，四边形是平行四边形。DP/EF，即，DP平面EAB。（2）以点A为坐标原点，直线AB为轴，直线AC为轴，建立空间直角坐标系,则轴在平面内，如图，设，由已知，得，所以，设平面EBD的法向量为，则且，所以，得平面EBD的一个法向量。又因为平面ABC的一个法向量，所以18（12分）解：（1）因为当时，所以，所以，所以，所以，数列为等差数列，其首项为1，公差为，；当时，所以，。（2）因为，所以，（1）（2）（1）（2）得，所以，19（12分）
9、解：设表示事件“此人于3月日到达该市”（），根据题意，且与互斥，。（1）设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则，所以，（2）由题意可知，的所有可能取值为，则所以，的分布列为：故，的期望。（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。 20（13分）解：（1）设，则由得到：代入得到：所以，点M的轨迹的方程为。（2）设点,则直线AB的方程为，又设，则，得于是，所以，于是，令，则令，于是，设，所以，在单调递增，故，所以，。21（14分）解析：（1）因为，所以，=，所以.（2）当时，结论显然成立；当时，不妨设，且记，则等价于即变形为令：必须是增函数，即必须是减函数，即所以， 和，同时恒成立。下面证明：当时，在恒成立， 令，设，则只需，再证明：当时，在恒成立，令，则只需，。同理可证当时，和在恒成立；所以，不等式恒成立。
