1、课时规范练 44 椭圆 基础巩固组1.椭圆24+y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P,则|PF2|=()A.72B.32C.3D.42.(2019 安徽合肥质检二,6)已知椭圆22+22=1(ab0)的左右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为B,以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P,若 F2BAP,则该椭圆离心率是()A.33B.23C.32D.223.(2019 河南名校联考,5)椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,若AF1F2的面积为3,且F1AF2=4AF1
2、F2,则椭圆方程为()A.23+y2=1B.23+22=1C.24+y2=1D.24+23=14.已知椭圆 C:29+25=1,若直线 l 经过 M(0,1),与椭圆交于 A,B 两点,且=-23 ,则直线 l 的方程为()A.y=12x+1B.y=13x+1C.y=x+1D.y=23x+15.已知椭圆22+22=1(ab0)的短轴长为 2,上顶点为 A,左顶点为 B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且F1AB 的面积为2-32,点 P 为椭圆上的任意一点,则 1|1|+1|2|的取值范围为()A.1,22B.2,3C.2,4D.1,46.直线 m 与椭圆22+y2=1 交于 P1,P2两点
3、,线段 P1P2的中点为 P,设直线 m 的斜率为 k1(k10),直线 OP的斜率为 k2,则 k1k2的值为 .7.(2019 重庆九龙坡期末,15)设 F1,F2分别是椭圆249+233=1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(8,5),则|PM|+|PF1|的最大值为 .综合提升组8.已知椭圆22+22=1(ab0)的左焦点为 F1(-2,0),过点 F1作倾斜角为 30的直线与圆 x2+y2=b2相交的弦长为3b,则椭圆的标准方程为()A.28+24=1B.28+24=1C.216+212=1D.216+212=19.(2019 安徽芜湖高三模拟,9)已知椭圆 C:2
4、2+22=1(ab0),直线 y=x 与椭圆相交于 A,B 两点,若椭圆上存在异于 A,B 两点的点 P 使得 kPAkPB(-13,0),则离心率 e 的取值范围为()A.(0,63)B.(63,1)C.(0,23)D.(23,1)10.(2019 江苏常州期末,15)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆22+22=1(ab0)的左,右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,射线 AF2交椭圆于 B.若AF1B 的面积为 403,内角 A 为 60,则椭圆的焦距为 .11.已知椭圆22+22=1(ab0)短轴的端点 P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为 M,AB 为经过椭圆中心且不在坐
5、标轴上的一条弦,若 PA,PB 的斜率之积等于-14,则点 P 到直线 QM 的距离为 .12.(2019 山西晋城高三三模,19)已知ABC 的周长为 6,B,C 关于原点对称,且 B(-1,0).点 A 的轨迹为.(1)求 的方程;(2)若 D(-2,0),直线 l:y=k(x-1)(k0)与 交于 E,F 两点,若 1,1成等差数列,求 的值.13.(2019 河南洛阳高三统考,19)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:22+22=1(a0,b0)经过点 A-62,2,且点 F(0,-1)为其一个焦点.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设椭圆 E 与 y 轴的两个交点为 A1,A2,不
6、在 y 轴上的动点 P 在直线 y=b2上运动,直线 PA1,PA2分别与椭圆 E 交于两点 M,N,证明:直线 MN 经过一个定点,且FMN 的周长为定值.14.已知动点 M(x,y)满足:(+1)2+2+(-1)2+2=22,(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程;(2)设 A,B 是轨迹 E 上的两个动点,线段 AB 的中点 N 在直线 l:x=-12上,线段 AB 的中垂线与 E 交于 P,Q两点,是否存在点 N,使以 PQ 为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出 N 点坐标,若不存在,请说明理由.创新应用组15.(2019 贵州遵义模拟,20)已知椭圆22+22=1(ab0)的左、右
7、焦点分别为 F1,F2,焦距为 23,点 P 为椭圆上一点,F1PF2=90,F1PF2的面积为 1.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点 B 为椭圆的上顶点,过椭圆内一点 M(0,m)的直线 l 交椭圆于 C,D 两点,若BMC 与BMD 的面积比为 21,求实数 m 的取值范围.参考答案 课时规范练 44 椭圆1.A a2=4,b2=1,所以 a=2,b=1,c=3,不妨设 P 在 x 轴上方,则 F1(-3,0),设 P(-3,m)(m0),则(-3)24+m2=1,解得 m=12,所以|PF1|=12,根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|=22-12
8、=72.2.D 因为点 P 在以线段 F1A 为直径的圆上,所以 APPF1,又因为 F2BAP,所以 F2BBF1.又因为|F2B|=|BF1|,所以F1F2B 是等腰直角三角形,因为|OB|=b,|OF2|=c,所以 b=c,|F2B|2=c2+b2=a2=2c2,所以该椭圆的离心率 e=22.故选 D.3.C 在AF1F2中,得 AF1=AF2,F1AF2=4AF1F2,可得AF1F2=30,所以=33.又AF1F2面积为3,即 S=bc=3,解得 b=1,c=3,则 a=2+2=2,所以椭圆方程为24+y2=1.故选 C.4.B 设直线 l 的斜率为 k,A(x1,y1),B(x2,y
9、2),则直线 l 的方程为 y=kx+1.因为=-23 ,所以 2x2=-3x1,联立=+1,29+25=1,得(5+9k2)x2+18kx-36=0,则 1+2=-185+92,12=-365+92,22=-31,解得 k=13,即所求直线方程为 y=13x+1.5.D 由题意得椭圆22+22=1(ab0)的短轴长为 2b=2,b=1,1=12(a-c)b=2-32,解得a-c=2-3,a=2,c=3,|PF1|+|PF2|=2a=4,设|PF1|=x,则|PF2|=4-x,xa-c,a+c,即 x2-3,2+3,1|1|+1|2|=1+14-=44-(-2)21,4,故选 D.6.-12
10、由点差法可求出 k1=-12 中中,所以 k1中中=-12,即 k1k2=-12.7.14+41 椭圆中的 c=49-33=16=4,即焦点坐标为 F1(-4,0),F2(4,0),点 M 在椭圆的外部,则|PM|+|PF1|=|PM|+2a-|PF2|=14+|PM|-|PF2|14+|MF2|=14+(8-4)2+52=14+41,当且仅当 M,F2,P 三点共线时取等号.故答案为 14+41.8.B 由左焦点为 F1(-2,0),可得 c=2,即 a2-b2=4,过点 F1作倾斜角为 30的直线的方程为y=33(x+2),圆心(0,0)到直线的距离 d=233+9=1,由直线与圆 x2+
11、y2=b2相交的弦长为3b,可得 22-1=3b,解得 b=2,a=22,则椭圆方程为28+24=1,故选 B.9.B 设 P(x0,y0),直线 y=x 过原点,由椭圆的对称性,设 A(x1,y1),B(-x1,-y1),则 kPAkPB=0-10-1 0+10+1=02-1202-12.又022+022=1,122+122=1,两式做差,代入上式得 kPAkPB=-22 (-13,0),故 022|BC|=2,故点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆(不含左、右两顶点),故 的方程为24+23=1(x2).(2)依题意,2=1+1,故 2=+.联立=(-1),32+42-12=0,整理得
12、(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设 E(x1,y1),F(x2,y2),则 x1+x2=823+42,x1x2=42-123+42.故 +=(1+2)1+(2+2)2=(1+2)(1-1)+(2+2)(2-1)=2+31-1+32-1=2+3(1+2-2)(1-1)(2-1)=2+3(1+2-2)12-(1+2)+1=2+3(823+42-2)42-123+42-823+42+1=2+3(82-6-82)42-12-82+3+42=2+2=4=2,则=2.13.(1)解 根据题意可得322+22=1,2-2=1,可解得=3,=2,椭圆 E 的方程为24+23=1.(2)证明 不
13、妨设 A1(0,2),A2(0,-2).P(x0,4)为直线 y=4 上一点(x00),M(x1,y1),N(x2,y2).直线 PA1方程为 y=20 x+2,直线 PA2方程为 y=60 x-2.点 M(x1,y1),A1(0,2)的坐标满足方程组23+24=1,=20 +2,可得 1=-603+02,1=202-63+02.点 N(x2,y2),A2(0,-2)的坐标满足方程组23+24=1,=60-2,可得2=18027+02,2=-202+5427+02.M-603+02,202-63+02,N18027+02,-202+5427+02.直线 MN 的方程为 y-202-63+02=
14、-02-960 x+603+02,即 y=-02-960 x+1.故直线 MN 恒过定点 B(0,1).又F(0,-1),B(0,1)是椭圆 E 的焦点,FMN 周长为|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.14.解(1)22+y2=1.(2)存在.理由如下,当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=-12,此时 P(-2,0),Q(2,0),2 2=-1,不合题意;当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设存在点 N-12,m(m0),直线 AB 的斜率为 k,设A(x1,y1),B(x2,y2),由122+12=1,222+22=1得(x1+x2)+2(y1+y2)1-2
15、1-2=0,则-1+4mk=0,故 k=14,此时,直线 PQ 斜率为 k1=-4m,直线 PQ 的方程为 y-m=-4m x+12,即 y=-4mx-m.联立=-4-,22+2=1消去 y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0,设 P(x3,y3),Q(x4,y4).所以 x3+x4=-162322+1,x3x4=22-2322+1.由题意2 2=0,于是2 2=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m)=(1+16m2)x3x4+(4m2-1)(x3+x4)+1+m2=(1+162)(22-2)322+1+(42-1)(-162)322+1+1+m2=192-1322+1=0,m=1919,N 在椭圆内,m20 得 4k2-m2+10,x1+x2=-842+1,x1x2=42-442+1,由 x1=-2x2可求得2=842+1,-222=42-442+1,-2 6422(42+1)2=42-442+1.整理得 4k2=1-292-1.由 k20,4k2-m2+10 可得 1-292-10,19m21,解得13m1 或-1m-13.
