1、第9讲数列、等差数列与等比数列高考年份全国卷全国卷全国卷2020等比数列求和T6递推关系T122019等差数列求通项及前n项和T9等比数列的基本量运算T14等比数列的基本量运算T5等差数列的基本量运算T142018等差数列的基本量运算T4数列求和T141.2020全国卷数列an中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.52.2019全国卷记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n3.2017全国卷几位大学生响应国家的创业
2、号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.1104.2020北京卷在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数列Tn()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最
3、小项D.无最大项,无最小项5.2019全国卷记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5=.6.2020全国新高考卷将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为.7.2020江苏卷设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列.已知数列an+bn的前n项和Sn=n2-n+2n-1(nN*),则d+q的值是.等差、等比数列的基本量1(1)已知数列an的前n项和为Sn,若a1=1,Sn3+an+1=0,则S5=()A.827B.1681C.21181D.32243(2)设等差数列an满足:a1=3,公差d(0,10),其前n项和为Sn.若
4、数列Sn+1也是等差数列,则Sn+10an+1的最小值为.【规律提炼】等差、等比数列的基本量问题主要涉及函数与方程的思想,难度不大,重点在于利用数列的基本性质构建方程,进而求得基本量,运算时要避免粗心的问题.测题1.已知正项等比数列an的前n项和为Sn,若a4=18,S3-a1=34,则S4=()A.116B.18C.3116D.1582.设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,若a2+a7+a9=27,且S8=S9,则d=()A.-3B.-1C.1D.3等差、等比数列的性质2(1)已知数列an的前n项和为Sn,点(n,an)在某条斜率存在且不为0的定直线上,同时满足2S5-13a4+5a8
5、=10,则下列数中为定值的是()A.a8B.S9C.a17D.S17(2)设等比数列an的公比为q,其前n项之积为Tn,并且满足条件:a11,a2019a20201,a2019-1a2020-10,给出下列结论:0q0;T2019是数列Tn中的最大项;使Tn1成立的最大自然数n等于4039.其中正确结论的序号为()A.B.C.D.测题1.设等差数列an的前n项和为Sn,若a5=5a3,则S9S5=()A.2B.259C.9D.9252.已知Sn是等差数列an的前n项和,且2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=()A.66B.55C.44D.33等差、等比数列的综合问题3(
6、1)已知数列an的各项均为正数,且满足an+12-an2-2(an+1+an)=0,且a2,a4,a8成等比数列,则数列1anan+1的前2019项和为()A.20192020B.10098080C.20198080D.20182021(2)假设你有一笔资金,现有三种投资方案,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.现打算投资10天,三种投资方案的总收益分别为A10,B10,C10,则()A.A10B10C10B.A10C10B10C.B10A10C10D.C10A10100
7、,所以由n(n+1)2100,解得n14.当n=13时,n(n+1)2=91,此时已知数列的前91项和S91=(21-1)+(22-1)+(213-1)=2(1-213)1-2-13=214-15,第十四组的前4项之和为15,则该数列的前95项和为2的整数幂,但此时N=95,不合题意;当n=14时,n(n+1)2=105,此时已知数列的前105项和S105=215-16,第十五组前k项之和不可能等于16,故不合题意.类推可知,分组后的数列的前n组的各项之和为Sn(n+1)2=2n+1-(n+2),其第n+1组的前k项之和为2k-1,只要n+2=2k-1,n14,即可,故最小的k=5,此时n=2
8、9,故N=29(29+1)2+5=440.4.B解析设an的公差为d,则d=a5-a15-1=-1+94=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-11,所以Tn=a1a2an=(-9)(-7)(-5)(-3)(-1)1(2n-11).当n+时,Tn-;当n=4时,Tn取得最大值,最大值为T4=(-9)(-7)(-5)(-3)=945.所以Tn有最大项,无最小项.故选B.5.1213解析因为a42=a2a6=a6,所以a2=1,所以公比为a2a1=3,所以S5=13(1-35)1-3=1213.6.3n2-2n解析令2n-1=3m-2,可得n=3m-12,m,nN*,m=2k-1,kN*,an=
9、3(2n-1)-2=6n-5,则an的前n项和Sn=n(6n-5+1)2=3n2-2n.7.4解析因为数列an+bn的前n项和Sn=n2-n+2n-1(nN*),所以当n=1时,a1+b1=S1=1,当n2时,an+bn=Sn-Sn-1=2n-2+2n-1,又a1+b1=1满足上式,所以an+bn=2n-2+2n-1(nN*).因为an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列,所以an+bn=2n-2+2n-1=dn+a1-d+b1qn-1对于任意正整数n都成立,所以d=q=2,即d+q=4.考点考法探究小题1例1(1)B(2)3解析(1)由Sn3+an+1=0,得Sn3+Sn+1-Sn
10、=0,即Sn+1=23Sn,所以Sn为等比数列,又S1=a1=1,所以S5=234=1681.故选B.(2)由题意可得2S2+1=S1+1+S3+1,即27+d=2+10+3d.又公差d(0,10),d=2,an=2n+1,Sn=n(3+2n+1)2=n2+2n,Sn+10an+1=n2+2n+102n+2=(n+1)2+92(n+1)=12(n+1)+9n+1(n+1)9n+1=3,当且仅当n=2时取等号,Sn+10an+1的最小值为3.【自测题】1.D解析a4=18,S3-a1=34,公比q0且q1,a1q3=18,a1(1-q3)1-q-a1=34,解得a1=1,q=12,S4=1(1-
11、124)1-12=158.故选D.2.A解析在等差数列an中,a2+a7+a9=(a1+d)+(a1+6d)+(a1+8d)=3(a1+5d)=3a6=27,所以a6=9.又S8=S9,所以a9=0,所以a9-a6=3d=-9,解得d=-3.故选A.小题2例2(1)D(2)B解析(1)由点(n,an)在某条斜率存在且不为0的定直线上,得an为等差数列.2S5-13a4+5a8=10,(10a1+20d)-13(a1+3d)+5(a1+7d)=10,化简得a1+8d=5,即a9=5,S17=1712(a1+a17)=17a9=85,为定值,故选D.(2)a11,a2019a20201,a2019
12、-1a2020-11,0a20201,0q1,故正确;a2019a2021=a202021,a2019a2021-11,0a20201,T2019是数列Tn中的最大项,故正确;T4039=a1a2a4038a4039=a202040391,使Tn1成立的最大自然数n等于4038,故不正确.故选B.【自测题】1.C解析an为等差数列,a5=5a3,S9S5=9(a1+a9)25(a1+a5)2=9(a1+a9)5(a1+a5)=92a552a3=9.故选C.2.D解析因为数列an是等差数列,所以2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=6a3+6a9=12a6=36,故a6=3,所以S11=1
13、1(a1+a11)2=11a6=33.故选D.小题3例3(1)C(2)B解析(1)由题得,(an+1+an)(an+1-an)=2(an+1+an),an+an+10,an+1-an=2,an是公差d=2的等差数列.又a2,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),解得a1=d=2,数列an的通项公式为an=2n.1anan+1=12n2(n+1)=141n-1n+1,数列1anan+1的前2019项和为S2019=141-12+12-13+12019-12020=1420192020=20198080.故选C.(2)设三种方案第n天的回报分别为an,bn,cn,则a
14、n=40,an为常数列;bn是首项为10,公差为10的等差数列;cn是首项为0.4,公比为2的等比数列.因为投资10天三种投资方案的总收益分别为A10,B10,C10,所以A10=400,B10=1010+109210=550,C10=0.4(1-210)1-2=409.2,所以B10C10A10.故选B.【自测题】1.D解析数列an是等比数列,a2a5=a3a4=3a3,a4=a1q3=3.a4与9a7的等差中项为2,a4+9a7=a4(1+9q3)=4,解得q=13,a1=81,S5=811-(13)51-13=121.故选D.2.n2-n+22解析由题可知,a2=a1+t=1+t,a3=
15、a2+2t=1+3t,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(1+t)2=1(1+3t),解得t=0(舍去)或t=1.当n2时,a2-a1=1,a3-a2=2,an-an-1=n-1,以上各式相加得an-a1=1+2+(n-1)=12n(n-1),所以an=n2-n+22.当n=1时,上式也成立,所以an=n2-n+22.小题4例4(1)D(2)A解析(1)由题意,数列an中,a1=1,an+1=an+(-1)nn2(nN*),则a2-a1=-12,a3-a2=22,a4-a3=-32,a101-a100=1002,各式相加,可得a101-a1=-12+22-32+42-992+1002=(-1
16、+2)(1+2)+(-3+4)(3+4)+(-99+100)(99+100)=1+2+3+99+100=100(1+100)2=5050,所以a101=a1+5050=5051.故选D.(2)由题意可得b1=1,b2=1,b3=2,b4=3,b5=1,b6=0;b7=1,b8=1,b9=2,b10=3,b11=1,b12=0;.数列bn是周期为6的数列,b1+b2+b3+b2020=(b1+b2+b3+b4+b5+b6)336+b1+b2+b3+b4=(1+1+2+3+1+0)336+1+1+2+3=2695.故选A.【自测题】1.C解析依题意有an+12-an2=4,即数列an2是以4首项,
17、4为公差的等差数列,故an2=4n,an=2n,所以1an+1+an=121n+1+n=12(n+1-n).设数列1an+1+an的前n项和为Sn,则Sn=12(2-1)+(3-2)+(n+1-n)=12(n+1-1),令12(n+1-1)=5,解得n=120.2.A解析由题可知杨辉三角每一行数字的和为首项为1,公比为2的等比数列,设杨辉三角的前n行的数字的和为Sn,则Sn=1-2n1-2=2n-1.杨辉三角每一行的数字的个数为1,2,3,4,则每一行的数字个数构成一个首项为1,公差为1的等差数列bn,设其前n项和为Tn,则Tn=n(n+1)2.去除所有为1的项,则前n行的数字个数的和为Tn-(2n-1)=n2-3n+22.令n2-3n+22=55,得n=12(负值舍去),则此数列前55项的和为S12-(212-1)=212-1-23=4072.故选A.
