1、2021年贵州省毕节市高考数学诊断性试卷（理科）（二）一、选择题（共12小题）.1已知全集UN，集合Ax|0，xN，则UA（）A2B1，2C2，3D0，1，22若复数z满足z（1+i3）3+i（i为虚数单位），则z（）A1+2iB12iC2+iD2i3若sin，则sin2的值为（）ABCD4函数f（x）x的图象大致为（）ABCD5如图，矩形ABCD中，AB，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）ABCD6已知，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A3BCD47已知a，b2，1，1，2，若向量（a，b），（1，1），则向量与所成的角为
2、锐角的概率是（）ABCD8中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴按如下方法剪裁，扇面形状较为美观从半径为r的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）ABCD9已知圆3，过直线xy60上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cosAPB的最小值为（）ABCD10已知平面向量，其中|2，向量与的夹角为150，则|的最大值为（）A2B3C4D11已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，过点F作倾斜角为
3、45的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A，B，若四边形AABB的面积为32，则该抛物线的方程为（）Ay22xBy24xCy24xDy28x12设函数f（x）的定义域为R，满足f（x1）2f（x）当x（1，0时，f（x）x（x+1）若对任意xm，+），都有f（x），则实数m的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若曲线y2ln（x+1）在x1处的切线斜率为a，则二项式（x）3的展开式中的常数项为 .（用数字作答）14已知点A，B，C为球O的球面上的三点，且BAC60，BC3，若球O的表面积为48，则点O到平面ABC的距离为 15已
4、知函数f（x）4cosxsin（x）（0）的最小正周期为4，若存在t0，2，使得f（t）m0，则实数m的取值范围为 16给出下列五个命题：已知随机变量服从正态分布N（，2），若P（0）P（2），则随机变量的期望为1，标准差为2；两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内；已知log2a+log2b1，则2a+4b的最小值为8；已知f（n）n2+pn+q（p，qR，nN*），则“f（n+1）f（n）”的充要条件是“p2”；已知定义在R上的偶函数f（x）在（，0单调递减，若f（2）1，则满足f（1x）1的x的取值范围是（1，3）其中所有真命题的序号为 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应
5、写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知等差数列an的前n项和为Sn，a23，S6S327，数列bn的前n项和Tn满足Tn2bnn（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列an（bn+1）的前n项和Rn18某二手车交易市场对2020年某品牌二手车的交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图和散点图用x表示该车的使用时间（单位：年），y表示其相应的平均交易价格（单位：万元）（）已知2020年在此交易市场成交的该品牌二手车为100辆，求使用时间在12，20的车辆数；（）由散点图分析后，可用yebx+a作为此交易市场上该种车辆的平均交易价格y关于其使用时间x的回归方程xiyixizix5.
6、59230080385表中zlny，zi根据上述相关数据，求y关于x的回归方程；附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，19如图，在三棱锥DABC中，底面ABC为直角三角形，ADBBDC，且ADBDCD，ADC60（）证明：平面ABC平面ACD；（）E为BD上一点，且VDAECVBADC，求二面角CAEB的余弦值20在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点P（2，1）和点Q（）为椭圆C上两点（）求椭圆C的标准方程；（）A，B为椭圆C上异于点P的两点，若直线PA与PB的斜率之和为0，求线段AB中点
7、M的轨迹方程21已知函数f（x）cosxln（1+x），f（x）为函数f（x）的导数，证明：（）f（x）在区间（1，0）上存在唯一极大值点；（）f（x）在区间0，+）上有唯一零点请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）2（）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（）已知直线l的极坐标方程为（R），l分别与曲线C1和C2交于点A（异于点O
8、）和点B，求线段AB的长选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x2|ax+2|（）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（）若x（0，2）时，不等式f（x）+x0恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.1已知全集UN，集合Ax|0，xN，则UA（）A2B1，2C2，3D0，1，2解：由0，解得x1或x3，Ax|x1或x3，xN，又全集UN，则UAx|1x3，xN1，2故选：B2若复数z满足z（1+i3）3+i（i为虚数单位），则z（）A1+2iB12iC2+iD2i解：因为z（1+i3）3+i，所以故选：A3若sin，则sin2的值为（）ABCD解：因为sin，可得sin（
9、）sin（+），所以sin（+）（sin+cos），可得sin+cos，两边平方，可得1+sin2，所以sin2故选：D4函数f（x）x的图象大致为（）ABCD解：函数的定义域为x|x0，f（x）（x）f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，当x1时，f（1）1e+e110，排除A，当x+，f（x）+排除D，故选：B5如图，矩形ABCD中，AB，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）ABCD解：矩形ABCD中，AB，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD平面ADEF，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建
10、立空间直角坐标系，则B（1，0），D（0，0，0），F（1，0，1），C（0，0），（1，0），（1，1），设异面直线BD与FC所成角为，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为：cos故选：C6已知，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A3BCD4解：sinx1，模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S+的值，可得S+（）+（）+（）413故选：A7已知a，b2，1，1，2，若向量（a，b），（1，1），则向量与所成的角为锐角的概率是（）ABCD解：根据题意，a，b2，1，1，2，则a、b的取法有4416种，若向量与所成的角为锐角，a+b0且ab，则a、b的取法有或或或，共4种情况
11、，则向量与所成的角为锐角的概率P，故选：B8中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴按如下方法剪裁，扇面形状较为美观从半径为r的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）ABCD解：设扇形OAB的圆心角为，OC的长为r，ROA20cm，由题意可得，解得（3），由于，解得r2010（1），故扇形装饰品的面积为SR2r2（R2r2）（3）（202202）（2）202400（2）则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的
12、面积与圆面积的比值为2故选：D9已知圆3，过直线xy60上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cosAPB的最小值为（）ABCD解：根据题意，如图：连接AC、BC、PC，圆3，则其圆心（，3），半径r，cosAPBcos2APC（12sin2APC）121，当PC最小时，sin2APC最大，cosAPB的值的最小，而PC的最小值为点C到直线xy60的距离，则PC的最小值为d3，则cosAPB的最小值为1，故选：A10已知平面向量，其中|2，向量与的夹角为150，则|的最大值为（）A2B3C4D解：根据题意，如图：设，|t，则，若向量与的夹角为150，则BAO30，在AOB中
13、，变形可得t4sinB，又由0B150，则sinB1，则有t4，即|的最大值为4，故选：C11已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，过点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A，B，若四边形AABB的面积为32，则该抛物线的方程为（）Ay22xBy24xCy24xDy28x解：y22px，抛物线的焦点为（，0），准线方程为：x，直线AB的倾斜角为45，斜率ktan451，直线AB的方程为yx，代入y22px（p0），得：x23px+0，则x1+x23p，x1x2，令A（x1，y1），B（x2，y2），（x1x2），则y1y2x1x22p，四边形AABB
14、是直角梯形，SAABB（x1+x2+）（y1y2）4p232，p2，抛物线的方程为y24x，故选：C12设函数f（x）的定义域为R，满足f（x1）2f（x）当x（1，0时，f（x）x（x+1）若对任意xm，+），都有f（x），则实数m的取值范围是（）ABCD解：因为f（x1）2f（x），f（x）2f（x+1），x（1，0时，f（x）x（x+1），0，x（2，1时，x+1（1，0，f（x）2f（x+1）2（x+1）（x+2）2（x+）2，0，x（3，2时，x+1（2，1，f（x）2f（x+1）4（x+2）（x+3）4（x+）211，0，故存在x（3，2，由4（x+2）（x+3），解得x或x，若对
15、任意xm，+），都有f（x），则m故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若曲线y2ln（x+1）在x1处的切线斜率为a，则二项式（x）3的展开式中的常数项为9.（用数字作答）解：函数y2ln（x+1），y，所以y|x1，即a1，所以二项式（）3的展开式的通项公式为CC，令33r0，解得r1，所以展开式的常数项为C9，故答案为：914已知点A，B，C为球O的球面上的三点，且BAC60，BC3，若球O的表面积为48，则点O到平面ABC的距离为3解：球O的表面积S4R248，解得R2，在ABC中，点A，B，C为球O的球面上的三点，且BAC60，BC3，外接圆的半径为：r，2r
16、2，r，球心到平面ABC的距离d3，故答案为：315已知函数f（x）4cosxsin（x）（0）的最小正周期为4，若存在t0，2，使得f（t）m0，则实数m的取值范围为2，+）解：f（x）4cosxsin（x）4cosx（sinxcosx）2sinxcosx2cos2xsin2x（1+cos2x）2sin（2x）最小正周期T4，f（x）2sin（x）当t0，2时，t，sin（t），1，f（t）2，2，t0，2，使f（t）m0，只需f（t）minm0即可即2m0，m2，即m2，+）16给出下列五个命题：已知随机变量服从正态分布N（，2），若P（0）P（2），则随机变量的期望为1，标准差为2；两两
17、相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内；已知log2a+log2b1，则2a+4b的最小值为8；已知f（n）n2+pn+q（p，qR，nN*），则“f（n+1）f（n）”的充要条件是“p2”；已知定义在R上的偶函数f（x）在（，0单调递减，若f（2）1，则满足f（1x）1的x的取值范围是（1，3）其中所有真命题的序号为解：对于，因为N（，2），P（0）P（2），所以1，2，所以对；对于，因为两两相交且不过同一点的二条直线必在同一平面内，满足条件的第四条直线必在该平面内，所以对；对于，因为log2a+log2b1，所以ab2，于是a2b4，所以2a+4b的8，当a2，b1时等号成立，所以2a+
18、4b的最小值为8，所以对；对于，因为当p2时，f（n+1）f（n）2n+1+p0，反之不成立，所以错；对于，因为f（x）是偶函数，且在（，0上单调递减，所以在0，+）上单调递增，又因为f（2）1，f（1x）121x2，解之得1x3，所以x的取值范围是（1，3），所以对；故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知等差数列an的前n项和为Sn，a23，S6S327，数列bn的前n项和Tn满足Tn2bnn（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列an（bn+1）的前n项和Rn解：（）设等差数列的公差为d，首项为a1，由于a23，S6S327
19、，所以，解得，故an2n1，数列bn的前n项和Tn满足Tn2bnn所以当n1时，解得b11，当n2时，bnTnTn12bn1+1，整理得bn+12（bn1+1），故（常数），故bn+1是以2为首项，2为公比的等比数列；故，整理得，（）由（）得：，则：，得：，整理得：18某二手车交易市场对2020年某品牌二手车的交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图和散点图用x表示该车的使用时间（单位：年），y表示其相应的平均交易价格（单位：万元）（）已知2020年在此交易市场成交的该品牌二手车为100辆，求使用时间在12，20的车辆数；（）由散点图分析后，可用yebx+a作为此交易市场上该种车辆的平均交
20、易价格y关于其使用时间x的回归方程xiyixizix5.59230080385表中zlny，zi根据上述相关数据，求y关于x的回归方程；附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，解：（）由频率分布直方图可知，使用时间在12，20的频率为4（0.01+0.03）0.16，所以使用时间在12，20的车辆数为1000.1616辆；（）由题意可得，zlnylnebx+abx+a，所以，所以a，所以z关于x的线性回归方程为，故y关于x的回归方程为19如图，在三棱锥DABC中，底面ABC为直角三角形，ADBBDC，且ADBDCD，ADC
21、60（）证明：平面ABC平面ACD；（）E为BD上一点，且VDAECVBADC，求二面角CAEB的余弦值【解答】（）证明：由题意可知，ABDCBD，所以ABBC，又ABC是直角三角形，所以ABC90，取AC的中点O，连结DO，BO，所以BOAC，OBOA，又因为ADDC，ADC60，所以ADC为正三角形，所以DOAC，因为AO2+OD2AD2，OAOB，ADBD，故OB2+OD2BD2，所以DOOB，因为OBACO，OB，AC平面ABC，所以DO平面ABC，又DO平面ADC，所以平面ABC平面ACD；（）解：由题设以及（1）可知，OA，OB，OD两两垂直，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如
22、图所示，又VDAECVBADC，即VCAEDVCAEB，所以点E时BD的中点，设AC2，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，0，0），D（0，0，），则，设平面CAE的法向量为，则有，即，令z1，则x0，y，故，设平面BAE的法向量为，则有，即，令c1，则，故，故，由图可知，二面角CAEB是锐二面角，所以二面角CAEB的余弦值为20在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点P（2，1）和点Q（）为椭圆C上两点（）求椭圆C的标准方程；（）A，B为椭圆C上异于点P的两点，若直线PA与PB的斜率之和为0，求线段AB中点M的轨迹方程解：（）设椭圆的方程为mx2+ny
23、21（m0，n0，mn），因为点P（2，1）和点Q（）为椭圆C上两点，所以，解得，故椭圆C的标准方程为；（）设PA的斜率为k，所以直线PA的方程为y+1k（x2），即yk（x2）1，联立方程组，可得（x2）（1+4k2）x8k28k+20，所以点A的横坐标为，纵坐标为，因为直线PA与PB的斜率之和为0，所以直线PB的斜率为k，同理可求出点B的坐标为，故点M的坐标为，所以点M的坐标满足x2y，由，解得x2，所以2x2，故点M的轨迹方程为x2y0（2x2）21已知函数f（x）cosxln（1+x），f（x）为函数f（x）的导数，证明：（）f（x）在区间（1，0）上存在唯一极大值点；（）f（x）在区
24、间0，+）上有唯一零点【解答】证明：（）f（x）的定义域是（1，+），f（x）sinx，令g（x）f（x）sinx，则g（x）cosx+，令h（x）g（x）cosx+，则h（x）sinx0在（1，0）恒成立，h（x）在（1，0）上递减，又h（）10，h（0）1+0，由零点存在性定理可知，h（x）在（1，0）上存在唯一的零点x0，使得h（x0）0，在（1，x0）上，g（x）0，在（x0，0）上，g（x）0，f（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，0）上单调递减，即f（x）在区间（1，0）上存在唯一的极大值点；（）f（x）sinx，当x0，）时，f（x）sinx0恒成立，（注意：区间右端点取法
25、不唯一，如取x0，）也正确），f（x）在0，）上单调递减，f（0）1ln（1+）1lne0，f（）ln（1+）0，f（x）在0，）上存在唯一零点x1，当x，+）时，ln（1+x）ln（1+）ln（1+）lne1，f（x）cosxln（1+x）0在，+）上恒成立，f（x）在，+）上没有零点，综上，f（x）在0，+）上有唯一零点请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标
26、方程为sin（+）2（）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（）已知直线l的极坐标方程为（R），l分别与曲线C1和C2交于点A（异于点O）和点B，求线段AB的长解：（）曲线C1的参数方程为（为参数）转换为直角坐标方程为（x+1）2+（y+2）25，整理得x2+y2+2x+4y0，根据，转换为极坐标方程为2+2cos+4sin0曲线C2的极坐标方程为sin（+）2，根据转换为直角坐标方程为x+y+40（）直线l的极坐标方程为（R），直线l与曲线C1交于点A，则，解得，直线l与曲线C2交于点B，故，解得故|AB|选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x2|ax+2|（）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（）若x（0，2）时，不等式f（x）+x0恒成立，求实数a的取值范围解：（）a1时，f（x）|x2|x+2|，所以不等式f（x）1，等价于，或，或，解得x2，或x2，或x，所以不等式f（x）1的解集为x|x；（）x（0，2）时，不等式f（x）+x0恒成立，等价于2x|ax+2|+x0恒成立，即2|ax+2|恒成立，两边平方并化简得a2x2+4ax0，又x（0，2），所以不等式化为a2x+4a0，即a（ax+4）0；等价于，或，解得a，或2a0，所以实数a的取值范围是（2，0）
