1、基础巩固题组(建议用时:35分钟)一、选择题1.在区间上随机取一个数x,cos x的值介于0到之间的概率为()A. B. C. D.解析若cos x,x,利用三角函数性质解得x,在上随机取一个数是等可能的,结合几何概型的概率公式可得所求概率为P.答案A2.(2016东北三省三校联考)实数m是0,6上的随机数,则关于x的方程x2mx40有实根的概率为()A. B. C. D.解析方程x2mx40有实根,则m2440,m4或m4,又m0,6,4m6,关于x的方程x2mx40有实根的概率为.故选B.答案B3.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩
2、形面积大于20 cm2的概率为()A. B. C. D.解析设ACx cm,0x12,则CB(12x)cm,要使矩形面积大于20 cm2,只要x(12x)20,则x212x200,解得2x10,所求概率为P.答案C4. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB2,BC1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B. C. D.解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A,则P(A).答案B5.(2016武汉部分学校质检)如图,大正方形的面积是34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为(
3、)A. B. C. D.解析大正方形的面积是34,大正方形的边长是,由直角三角形的较短边长为3,得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3,则小正方形边长为2,面积为4,小花朵落在小正方形内的概率为P.故选B.答案B二、填空题6.如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为_.解析设阴影部分的面积为S,由题意知,解得S0.18.答案0.187.在区间2,4上随机地取一个数x,若x满足|x|m的概率为,则m_.解析由|x|m,得mxm.当m2时,由题意得,解得m2.5,矛盾,舍去.当2m4时,由题意得,解得m3.即m的值为3.答案38.在区间1
4、,5和2,4上分别各取一个数,记为m和n,则方程1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是_.解析方程1表示焦点在x轴上的椭圆,mn.如图,由题意知,在矩形ABCD内任取一点Q(m,n),点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率,易知直线mn恰好将矩形平分,所求的概率为P.答案9.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为_.解析yex与yln x互为反函数,故直线yx两侧的阴影部分面积相等,只需计算其中一部分即可.如图,S1exdxex0e1e0e1.S总阴影2S阴影2(e1S1)2e(e1)2,故所求概率为P.答案三、解答题10.设关于x的一元二次方程x22
5、axb20.若a是从区间0,3任取的一个数,b是从区间0,2任取的一个数,求方程有实根的概率.解设事件A为“方程x22axb20有实根”.当a0,b0时,方程x22axb20有实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成的区域为(a,b)|0a3,0b2,构成事件A的区域为(a,b)|0a3,0b2,ab,根据条件画出构成的区域(略),可得所求的概率为P(A).能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2016辽宁五校联考)设k是一个正整数,已知的展开式中第四项的系数为,函数yx2与ykx的图象所围成的区域如图中阴影部分所示,任取x0,4,y0,16,则点(x,y)恰好落在阴影部分内的概率为()
6、A. B. C. D.解析由题意得C,解得k4.阴影部分的面积S1(4xx2)dx0,任取x0,4,y0,16,以x、y为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积S241664,所以所求概率P,故选C.答案C12. 如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A. B. C.1 D.解析如图,设OA2,S扇形AOB,SOCD11,S扇形OCD,在以OA为直径的半圆中,空白部分面积S121,所有阴影面积为2.故所求概率P1.答案C13.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:307:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去
7、上班的时间在早上7:008:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是_.解析以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示张先生离家时间,建立平面直角坐标系,因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,即所求事件A发生,所以P(A).答案14.已知向量a(2,1),b(x,y).(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足ab1的概率;(2)若x,y在连续区间1,6上取值,求满足ab0的概率.解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6636(个);由ab1有2xy1,所以满足ab1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个;故满足ab1的概率为.(2)若x,y在连续区间1,6上取值,则全部基本事件的结果为(x,y)|1x6,1y6;满足ab0的基本事件的结果为A(x,y)|1x6,1y6且2xy0;画出图形如图,正方形的面积为S正方形25,阴影部分的面积为S阴影252421,故满足ab0的概率为.