1、四川省成都外国语学校2019-2020学年高二数学5月月考试题 文(含解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数,若是实数,则实数的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析:,所以.故C正确.考点:复数的运算.2. 命题“,”的否定为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】A【解析】【分析】根据全称命题与特称命题之间的关系求解.【详解】因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“,”的否定为“,”故选A【点睛】本题考查全称命题和特称命题的否定,属于基础题.3. 曲线 在点 处的切线方程为A.
2、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先对曲线求导,再根据点斜式写出切线方程即可【详解】由,所以过点切线方程为答案选B【点睛】本题考查在曲线上某一点切线方程的求法,相对比较简单,一般解题步骤为:先求曲线导数表达式,求出,最终表示出切线方程4. 已知双曲线以椭圆的焦点为顶点,左右顶点为焦点,则的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求出值,即可求解.【详解】由题意知的焦点坐标为,顶点为,故渐近线方程为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程,以及简单的几何性质,属于基础题.5. 执行如图所示的程序框图,则输出的值是( )A. B. C. D.
3、 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步,结合判断条件得出输出的的值.【详解】执行如图所示的程序框图如下:不成立,;不成立,;不成立,;不成立,.成立,跳出循环体,输出值为,故选C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果,对于这类问题,通常利用框图列出算法的每一步,考查计算能力,属于中等题.6. 已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点,则直线与抛物线相切,命题若,则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】若直线与抛物线的对称轴平行,满足条件,此时直线与抛物线相交,可判断命题为假;当时,命题为真,根据复合命题的真假关系,即
4、可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行,直线与抛物线只有一个交点,直线与抛物不相切,可得命题是假命题,当时,方程表示椭圆命题是真命题,则是真命题.故选:B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断,属于基础题.7. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒,若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析:因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为,故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位
5、置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法8. 阿基米德(公元前287年公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆
6、柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.9. 直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析:先求出A,B两点坐标得到再计算圆心到直线距离,得到点P到直线距离范围,由面积公式计算即可详解:直线分别与轴,轴交于,两点,则点P在圆上圆心为(2,0),则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛:本题主要考查直线与
7、圆,考查了点到直线的距离公式,三角形的面积公式,属于中档题10. 函数,在区间上单调递减,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得导函数,根据函数单调递减可知在区间上恒成立,即可由定义域及不等式求得的取值范围.【详解】函数,.则,因为在区间上单调递减,则在区间上恒成立,即, 所以在区间上恒成立,所以,解得,故选:C.【点睛】本题考查了函数单调性与导函数关系,由函数单调性确定参数的取值范围,属于基础题.11. 已知,分别为双曲线的左、右焦点,以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为,设四边形的周长为,面积为,且满足,则该双曲线的离心率为( )A
8、. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由,可得,然后,即,又由可得,然后可得,然后即可求出.【详解】由题意可得,联立两个方程可得,又为直径,所以四边形为矩形,所以,即,即,由,得,即,所以,即.故选:C【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、圆的性质的综合应用,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.12. 定义在上的函数满足为自然对数的底数),其中为的导函数,若,则的解集为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由,以及,联想到构造函数,所以等价为,通过导数求的单调性,由单调性定义即可得出结果【详解】设,等价为,故在上单调递减,所以,解得,故选C【点睛】本题主要考查利用导数
9、研究函数的单调性的问题,利用单调性定义解不等式,如何构造函数是解题关键,意在考查学生数学建模能力非选择题部分(共90分)二、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 在复平面内,与复数对应的点位于第_象限.【答案】四【解析】分析】,然后即可得出答案.【详解】因为,所以其对应的点为,位于第四象限故答案为:四【点睛】本题考查的是复数的计算及其几何意义,较简单.14. 已知函数,则的单调递增区间为_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可【详解】解:的定义域是,令,解得:,故在递增,故答案为【点睛】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道
10、基础题15. 已知,则方程恰有2个不同的实根,实数取值范围_.【答案】【解析】【分析】采用数形结合,先计算直线直线与曲线相切时,的值,然后讨论,的情况,最后判断可得结果.【详解】作出函数的图象如图所示:先考虑直线与曲线相切时,的取值,设切点为,对函数求导得,切线方程为,即,则有,解得,由图象可知,当时,直线与函数在上的图象没有公共点,在有一个公共点,不合乎题意;当时,直线与函数在上的图象没有公共点,在有两个公共点,合乎题意;当时,直线与函数在上的图象只有一个公共点,在有两个公共点,不合乎题意;当时,直线与函数在上的图象只有一个公共点,在没有公共点,不合乎题意.综上所述,实数的取值范围是,故答案
11、为:.【点睛】本题考查方程根的个数求解参数,采用数形结合,形象直观,考查分析能力以及计算能力,属中档题.16. 已知抛物线的焦点,点是抛物线上一点,以为圆心的圆与直线交于、两点在的上方),若,则抛物线的方程为 _.【答案】【解析】【分析】依题意作图,可以把放在直角三角形中,可得,由抛物线定义转化,即可得到与的关系,再代入方程中即可求出,则抛物线方程可求【详解】解:如图所示,过点作抛物线的准线,垂足为,交准线于,由抛物线定义可得:,即,点是抛物线上一点,即,得故答案为:【点睛】本题考查抛物线的标准方程,利用抛物线的定义进行线段的转化是关键,是中档题三、解答题(本大题共6小题,共70分).17.
12、已知函数在点处的切线方程为(1)求函数的解析式;(2)求函数在区间上的最大值与最小值【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】(1)求出函数的导数,计算f(1),得到关于a的方程,求出a的值,从而求出函数的解析式即可;(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最值即可【详解】(1) 函数在点处的切线的斜率 由题意可知,得 函数的解析式为 (2)由(1)知,令,解得令,解得 令,解得 列表:02119从上表可知,在区间上,当时,取得最大值19, 当时,取得最小值是.【点睛】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道常规题18. 某校从
13、参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组90,100),100,110),140,150后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在120,130)内的频率;(2)估计本次考试的中位数;(3)用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段120,130)内的概率【答案】(1)0.3;(2)(3)【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1,求出分数在内的概率;(2)由直方图左右两边面积相等处横坐标计算出中位数;(3)计算出与
14、分数段的人数,用分层抽样的方法求出在各分数段内抽取的人数组成样本,利用古典概率公式求出“从样本中任取2人,至多有1人在分数段内”的概率即可.【详解】(1)分数在120,130)内的频率为1(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=10.7=0.3;(2)由于图中前3个小矩形面积之和为0.4则设中位数,则,则(3)依题意,110,120)分数段的人数为600.15=9(人),120,130)分数段的人数为600.3=18(人);用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,需在110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m,n;在120,130)分数段内抽取
15、4人,并分别记为a,b,c,d;设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段120,130)内”为事件A,则基本事件有(m,n),(m,a),(m,d),(n,a),(n,d),(a,b),(c,d)共15种;则事件A包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d)共9种;P(A)=【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用,属于中档题. 直方图的主要性质有:(1)直方图中各矩形的面积之和为;(2)组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率;(3)每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值;(4)直观图左右两边面积
16、相等处横坐标表示中位数.19. 如图,在平行四边形中,以为折痕将折起,使点到达点的位置,且(1)证明:平面平面;(2)为线段上一点,为线段上一点,且,求三棱锥的体积【答案】(1)见解析.(2)1.【解析】分析:(1)首先根据题的条件,可以得到=90,即,再结合已知条件BAAD,利用线面垂直的判定定理证得AB平面ACD,又因为AB平面ABC,根据面面垂直的判定定理,证得平面ACD平面ABC;(2)根据已知条件,求得相关的线段的长度,根据第一问的相关垂直的条件,求得三棱锥的高,之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解:(1)由已知可得,=90,又BAAD,且,所以AB平面ACD又AB平面A
17、BC,所以平面ACD平面ABC(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=又,所以作QEAC,垂足为E,则 由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1因此,三棱锥的体积为点睛:该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解,在解题的过程中,需要清楚题中的有关垂直的直线的位置,结合线面垂直的判定定理证得线面垂直,之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直,需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系,在求三棱锥的体积的时候,注意应用体积公式求解即可.20. 在直角坐标系中,曲线的方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,
18、曲线的极坐标方程为.(1)求,交点的直角坐标;(2)设点的极坐标为,点是曲线上的点,求面积的最大值.【答案】(1), ;(2).【解析】【分析】(1)结合,得到曲线的普通方程,即可计算交点坐标.(2)结合三角形面积计算公式, 结合三角函数性质和辅助角公式,可计算最值.【详解】(1),.联立方程组得,解得,所求交点的坐标为,.(2)设,则的面积当时,.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程,考查了极坐标方程化为普通方程,考查了三角函数的辅助角公式,属于中档题.21. 已知点,直线为平面内的动点,过点作直线的垂线,垂足为点,且. (1)求动点的轨迹的方程;(2)过点作直线(与轴不重合)交轨迹于,两
19、点,求三角形面积的取值范围.(为坐标原点)【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)处理向量等式,代入向量坐标,计算方程,即可(2)分直线斜率是否存在考虑,设出直线l的方程,代入椭圆方程,用m表示三角形面积,换元,结合函数性质,计算范围,即可【详解】(1)设动点,则由即 化简得 (2)由(1)知轨迹的方程为,当直线斜率不存在时,当直线斜率存在时,设直线方程为 ,设 由得.则, 令,则 令,则,当时,在上单调递增,综上所述,三角形面积的取值范围是【点睛】本道题考查了曲线轨迹方程计算,考查了直线与椭圆位置关系,考查了函数的性质,属于综合性问题,难度偏难22. 设函数.(1)求的单调区间;(2)当
20、时,若对,都有()成立,求的最大值.【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)0【解析】【分析】(1),对分类讨论,可得其单调区间(2)当时,对,都有恒成立, ,令,只需,利用导数研究其单调性即可得出【详解】解:(1),.当时,在恒成立,在是单减函数.当时,令,解之得.从而,当变化时,随变化情况如下表:-0+单调递减单调递增由上表中可知,在是单减函数,在是单增函数.综上,当时,的单减区间为;当时,的单减区间为,单增区间为.(2)当,为整数,且当时,恒成立.令,只需;又,由(1)得在单调递增,且,所以存在唯一的,使得,当,即单调递减,当,即单调递增,所以时,取得极小值,也是最小值,当时,而在为增函数,即.而,即所求的最大值为0.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题