1、3 等 比 数 列 3.1 等 比 数 列 第1课时 等 比 数 列 必备知识自主学习 1.等比数列的定义 如果一个数列从_起,每一项与它的前一项的比都等于_,那么 这个数列叫作等比数列,这个_叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q0).导思1.等比数列中有0项吗?2.等比数列的通项公式一定是指数函数吗?第2项 同一个常数 常数【思考】如何用符号语言表达等比数列的定义?提示:=常数q(n2).nn 1aa 2.等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列an的首项为a1,公比为q(q0),则 递推公式通项公式=q(n2,nN+)an=_a1qn-1(a10,q0)【思考】观察等差数列、等比
2、数列的通项公式,比较有何异同?提示:n个a相加,a+a+a=na;n个a相乘,aaa=an,它们加法,乘法的“运算符号”不同,书写形式不同,“结构”是相同的,我们称na与an“同构”.等差数列,等比数列的通项公式与此类似.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)a,aq,aq2,aq3,是等比数列.()(2)不存在既是等差数列又是等比数列的数列.()(3)等比数列的图像在一个指数函数的图像上.()提示:(1).当a=0时,所有项都等于0;当q=0时,第2项及以后的项都等于0,这 不符合等比数列的定义.(2).任意一个非零常数列既是等差数列又是等比数列.(3).由an=a1qn
3、-1=qn,可知,当 =1并且q0且q1时,等比数列的图像才 在指数函数图像上.1aq1aq2.下列数列为等比数列的是()A.2,22,322,B.,C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,D.0,0,0,32111,a aa，【解析】选B.A,C,D不是等比数列,A中不满足定义,C、D中项可为0,不符合定义.3.已知数列an是等比数列,且a1=,a4=-1,则数列an的公比q为 .18【解析】q3=-8,所以q=-2.答案:-2 41aa4.(教材二次开发:习题改编)若等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,则这个数列的项数为()A.3 B.4 C.5 D.6 981323【解析】选B.由等
4、比数列通项公式得,所以 ,所以n=4.n1921833，n132823273关键能力合作学习 类型一 等比数列的判断和证明(逻辑推理)【典例】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1.(1)求证:数列an+1是等比数列;(2)求an的表达式.【思路导引】(1)根据要证明的数列把条件转化为an+1+1=2(an+1).(2)写出an+1的通项公式后再写an的表达式.【解析】(1)因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1).因为a1=1,故an+10,则有 =2.所以an+1是等比数列.(2)由(1)知an+1是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,所以an+1=22n
5、-1,即an=2n-1.n1na1a1【解题策略】判断一个数列an是等比数列的方法(1)定义法:若数列an满足 =q(q为常数且不为零)或 =q(n2,q为常数且 不为零),则数列an是等比数列.(2)通项公式法:若数列an的通项公式为an=a1qn-1(a10,q0),则数列an是 等比数列.(3)构造法:在条件中出现an+1=kan+b关系时,往往构造数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可.n 1naann 1aa【跟踪训练】已知数列an的前n项和Sn=2-an,求证:数列an是等比数列.【证明】因为Sn=2-an,所以Sn+1=2-an+1.所以
6、an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.所以an+1=an,又因为S1=2-a1,所以a1=10,又由an+1=an知an0,所以 =.所以数列an是首项为a1=1,公比为 的等比数列.1212n 1naa1212类型二 等比数列的应用(逻辑推理)角度1 等比数列的实际应用 【典例】某人买了一辆价值10万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示第n(nN+)年这辆车的价值;(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?【思路导引】“每年按10%的速度贬值”则车的剩余价值为以(1-10%)为公比的等比数列.【解析】(1)从
7、第一年起,每年车的价值(万元)依次设为:a1,a2,a3,an,由题意,得a1=10,a2=10(1-10%),a3=10(1-10%)2,.由等比数列定义,知数列an是等比数列,首项a1=10,公比q=1-10%=0.9,所以an=a1qn-1=100.9n-1.所以第n年车的价值为an=100.9n-1万元.(2)当他用满3年时,车的价值为a4=100.94-1=7.29(万元).所以用满3年卖掉时,他大概能得7.29万元.【变式探究】一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后 分钟,该病毒占据内存64 MB(1 M
8、B=210 KB).【解析】由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列,令病毒占据64 MB时自身复制了n次,即22n=64210=216,解得n=15,从而复制的时间为153=45分钟.答案:45 角度2 等比数列的通项公式及其应用 【典例】在等比数列an中.(1)已知a2=4,a5=-,求an;(2)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=,求n.1212【思路导引】利用等比数列的通项公式求解.【解析】(1)方法一:设等比数列的公比为q,则 解得 所以an=a1qn-1=(-8)方法二:设等比数列的公比为q,则 =q3,即q3=-,q=-.所以an=a5qn-5=141a
9、q41a q2，1a81q,2，n1n411.22 52aa1812n5n4111.222 (2)方法一:设等比数列的公比为q,则 解得 从而a1=128.由a1qn-1=,即 得n=9.3334a(1q)36a(1q)18，3a321q.2，32aq12n181122方法二:设等比数列an的公比为q.因为a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q,所以q=因为a4+a7=18,所以a4(1+q3)=18.所以a4=16,an=a4qn-4=16 由16 ,得n-4=5,所以n=9.181.362n41.2n41122【解题策略】1.等比数列应用题的两种常见类型(1)数学应用问题:解答数学应
10、用题的核心是建立数学模型,如有关平均增长 率、利率(复利)以及数值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.(2)增长率问题:需要构建的是等比数列模型,利用等比数列的通项公式解决.2.等比数列通项公式的应用技巧(1)a1和q是等比数列的基本元素,只要求出这两个基本元素,其余的元素便可 求出.(2)等比数列的通项公式涉及四个量a1,an,n,q,知任意三个就可以求出另一个.(3)在等比数列的计算问题中,经常使用方程的思想和整体代换的思想.【题组训练】1.在等比数列an中,a5a7=6,a2+a10=5,则 等于()A.-或-B.C.D.或 3223233232231810aa【解析】选D.因为
11、a5a7=a2a10,所以a2a10=a5a7=6.由 得 或 所以 210210aa6aa5，210a2a3，210a3a2，18101810102102aaaa32.aa2aa3或2.(2020江门高二检测)已知等比数列 满足a1=,且a2a4=4 ,则 a5=()A.8 B.16 C.32 D.64 12 na3a1【解题指南】先由题意求出公比,再根据等比数列的通项公式即可求出a5的值.【解析】选A.等比数列 满足a1=且a2a4=4(a3-1),则 q q3=4(q2-1),解得q2=4,所以a5=a1q4=42=8.12 na121212123.已知等比数列an中,a1+a3=15,
12、且a1+a2+a3+a4=45.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=11-log2 ,求数列bn的前n项和Sn.2n1a3【解析】(1)设等比数列an的公比为q.由题意得 解得q=2,a1=3,所以an=32n-1.(2)由(1)得a2n+1=322n,所以bn=11-log2 =11-2n.所以数列bn是首项为9,公差为-2的等差数列.从而Sn=-n2+10n.211231111aa q15aa qa qa q45，2n1a3n9112n2（）1.对任意等比数列an,下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列
13、D.a3,a6,a9成等比数列 课堂检测素养达标【解析】选D.因为数列an为等比数列,设其公比为q,则a3a9=a1q2a1q8=(a1q5)2=,所以,a3,a6,a9一定成等比数列.26a2.数列an中,若an+1=3an,a1=2,则a4=()A.108 B.54 C.36 D.18【解析】选B.因为an+1=3an,a1=2,则数列an是首项为2,公比为3的等比数列,则a4=a1q3=233=54.3.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=.【解析】设等比数列an的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2
14、=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.答案:42 4.孙子算经是我国古代数学专著,其中一个问题为“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色”.问:巢有几何?.【解析】由已知,巢的数列构成以9为首项,9为公比的等比数列模型,由等比数列通项公式可知:巢的数量为:a4=993=94=6 561.答案:6 5615.(教材二次开发:习题改编)在等比数列an中,若公比q=4,且前三项之和等于21,则该数列的通项公式是 .【解析】依题意a1+4a1+42a1=21,所以a1=1,所以an=a1qn-1=4n
15、-1.答案:an=4n-1 6.在等比数列an中,(1)若a1=256,a9=1,求q和a12;(2)若a3a5=18,a4a8=72,求q.【解析】(1)因为a9=a1q8,所以256q8=1,即q=.当q=时,a12=a1q11=256 =;当q=-时,a12=a1q11=256 =-.(2)a1q2a1q4=18,即 q6=18.又a1q3a1q7=72,即 q10=72.两式相除得 q4=4,所以q=.12121112181211121821a21a72182课时素养评价 七 等 比 数 列【基础通关】(20分钟 35分)1.下列命题中正确的是()A.若a,b,c是等差数列,则lg a
16、,lg b,lg c是等比数列 B.若a,b,c是等比数列,则lg a,lg b,lg c是等差数列 C.若a,b,c是等差数列,则10a,10b,10c是等比数列 D.若a,b,c是等比数列,则10a,10b,10c是等差数列【解析】选C.若a,b,c成等差数列,则2b=a+c,所以10a10c=10a+c=102b=(10b)2,所以10a,10b,10c是等比数列.2.在首项a1=1,公比q=2的等比数列an中,当an=64时,项数n等于()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选D.因为an=a1qn-1,所以12n-1=64,即2n-1=26,得n-1=6,解得n=7.3.(2020
17、高新高一检测)若正项等比数列an满足a2a3=a4,且a1+a3=2(a2+2),则公比为()A.-1 B.1 C.2 D.3【解题指南】根据a2a3=a4可计算出首项a1的值,再根据a1+a3=2(a2+2)以及a1的值即可计算出公比q的值.【解析】选D.因为a2a3=a4,所以 q3=a1q3(a10),所以a1=1,又因为a1+a3=2(a2+2)所以1+q2=2(q+2),所以q2-2q-3=0,所以q=3或q=-1,又因为an是正项等比数列,所以q=3.21a4.等比数列an的公比为q,且|q|1,a1=-1,若am=a1a2a3a4a5,则m等于 ()A.9 B.10 C.11 D
18、.12【解析】选C.因为a1a2a3a4a5=a1a1qa1q2a1q3a1q4=q10=-q10,am=a1qm-1=-qm-1,所以-q10=-qm-1,所以10=m-1,所以m=11.51a5.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于 平方厘米.【解析】依题意这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列 an(1n10,nN+),则第10个正方形的面积S=2()92=429=2 048(平方厘米).答案:2 048 2210a26.在等比数列an中,(1)已
19、知a2=18,a4=8,求a1与q.(2)已知a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.【解析】(1)由已知得 解这个方程组,得 或 131a q18a q8.，1a272q3，1a272q.3 ，(2)根据题意,有 方程两边分别相除,得 .整理得2q2-5q+2=0.解这个方程,得q=2或q=.当q=2时,a1=1;当q=时,a1=-16.所以a3=4或a3=-4.411311a qa15a qa q6.，411311a qa15a qa q61212【补偿训练】已知数列an的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(nN+).(1)求a1,a2;(2)求证:数列an是等比数列.13【解析】(1)
20、由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),所以a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.(2)当n2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得 =-,又 =-,所以an是首项为-,公比为-的等比数列.1313131213141313nn 1aa 1221aa121212【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设等比数列an的前三项分别为 则该数列的第四项为()A.1 B.C.D.【解析】选A.q=,所以a4=1.36222，8 29 212 23162226 21622.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等
21、差数列,从第三行起,每 一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i,jN+),则a53的值为()A.B.C.D.1165161854【解析】选C.第一列构成首项为 ,公差为 的等差数列,所以a51=+(5-1)=.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行 构成首项为 ,公比为 的等比数列,所以a53=.141414145454125421()25163.(2020余姚高一检测)设an为等比数列,给出四个数列:2an,log2|an|.其中一定为等比数列的是()A.B.C.D.【解题指南】设an=a1qn-1,再利用等比数列的定义和性质
22、逐一分析判断每一个选项得解.2na na2【解析】选D.设an=a1qn-1,2an=2a1qn-1,所以数列2an是等比数列;q2n-2=(q2)n-1,所以数列 是等比数列;不是一个常数,所以数列 不是等比数列;不是一个常数,所以数列log2|an|不是等比数列.22n1aa21a2na n1n1n1n1n2n111n2n11aa qaa qa qa qaa q2222,222n2a n1212nn22n121log a qlog alog alog a q4.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去,第6
23、天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂()A.55 986只 B.46 656只 C.216只 D.36只【解题指南】先由题得到an是公比为6的等比数列,再利用等比数列的通项求出a6得解.【解析】选B.设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂,则有an+1=6an,a1=6,则an是公比为6的等比数列,则a6=a1q5=665=46 656.5.(2020石家庄高一检测)已知数列an是首项a1=4,公比q1的等比数列,且 4a1,a5,-2a3成等差数列,则公比q等于()A.-1 B.C.-2 D.2【解题指南】由等差数列的性质得2a5=4a1-2a3,由此利用等比数列通项公式能 求出公比.1
24、2【解析】选A.因为数列an是首项a1=4,公比q1的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,所以2a5=4a1-2a3,所以2(4q4)=44-2(4q2),解得q=1(舍)或q=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在数列an中,对任意nN+,都有an+1-2an=0(an0),则 等于 .【解析】由an+1-2an=0得 =2,所以数列an是公比为2的等比数列,所以 .答案:12342aa2aa121223412aaa(2q)112aaa q(2q)q4n1naa147.设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 an的最大值为 .【解析】设等比数列的公比
25、为q,由 得,解得 所以a1a2an=,于是当n=3或4时,a1a2an取得最 大值26=64.答案:64 1324aa10,aa52121a(1q)10,a q(1q)5,1a8,1q.2 2n(n 1)17nn2n1 2n 1n2211a q822 L（）8.在表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则a+b+c的值为 .120.51abc【解析】因为每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,所以根据第三列,得 2a=12,可得a=.在第一列中,公比q=,第3个数为 =,第4个数为 =,第三列中,公比q=,第4个数为2 =,所以第四行中的公差d=,所以第四行中第4
26、个数b=+=,同理c=,所以a+b+c=+=1.答案:1 121221()21431()2181231()2141 11()2 481161411651631612516316三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.若b6=ak,求k的值.【解析】(1)由题意,得等差数列 的公差d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+d=10,a1=4,所以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)2=2n+2;(2)由(1),得b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b6=b2q
27、4=824=128,所以ak=2k+2=128,k=63.32b16b810.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,)有两根 和,且满足6-2 +6=3.(1)试用an表示an+1.(2)求证:an-是等比数列.(3)当a1=时,求数列an的通项公式及项的最值.2376【解析】(1)根据根与系数的关系,得 代入题设条件6(+)-2=3,得 .所以an+1=an+.n 1nna,a1.a n 1nn6a23aa 1213(2)因为an+1=an+,所以an+1-.若an=,则方程anx2-an+1x+1=0,可化为 x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0.此时=(-2)2-4230,所以an ,即an-0.所以数列an-是以 为公比的等比数列.1213n212(a)32323232323232312(3)当a1=时,a1-=,所以数列an-是首项为 ,公比为 的等比数列.所以an-=,所以an=+,n=1,2,3,即数列an的通项公式为an=+,n=1,2,3,.由函数y=在(0,+)上单调递减知当n=1时,an的值最大,即最大值为a1=.7623122312122312n 11()2n1()223n1()223n1()2x1()276
