1、第2课时 等差数列习题课 关键能力合作学习 类型一 已知Sn求an (数学运算)【典例】已知数列an的前n项和为Sn=n2+求这个数列的通项公式.这个列 是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?【思路导引】由Sn的定义可知,当n=1时,S1=a1;当n2时,an=Sn-Sn-1,即an=1 n2，1nn 1Sn1SSn2.，【解析】根据Sn=a1+a2+an-1+an 与Sn-1=a1+a2+an-1(n2),可知,当n2时,an=Sn-Sn-1 当n=1时,a1=S1=12+1=.也满足式,所以数列an的通项公式为an=2n-.由此可知,数列an是一个首项为 ,公差为2 的等差数列.
2、22111nn(n1)(n1)2n222，12321232【解题策略】由Sn求an的方法(1)an与Sn的关系:an=当n=1适合于an时,则a1可以统一到an(n2,nN+)的形式中,而不用写成分段函 数形式.若n=1不适合an,则通项公式应写成分段函数形式.(2)等差数列an中,若d0,则Sn可写成关于n的二次函数形式,反之,若 Sn=An2+Bn,那么数列an一定是等差数列.1nn 1S,n1,SS,n2.【跟踪训练】已知数列 的前n项和Sn=n2+n,则an=.【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n,n=1时,a1=
3、2也适合an=2n,综上an=2n(nN*)答案:2n na 类型二 求等差数列绝对值的前n项和(数学运算)【典例】数列an的前n项和Sn=33n-n2,(1)求an的通项公式;(2)an的前多少项和最大;(3)设bn=|an|,求数列bn的前n项和Sn.【思路导引】(1)利用Sn与an的关系求通项,也可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项.(2)利用Sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点求解.(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解.【解析】(1)方法一:(公式法)当n2时,an=Sn-=34-2n,当n=1时,a1=
4、S1=32=34-21,满足 an=34-2n.所以an的通项公式为an=34-2n.方法二:(结构特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数,所以an是等差数列,由Sn的结构特征知 解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.n 1S 1d12da332，(2)方法一:(公式法)令an0,得34-2n0,所以n17,所以数列an的前17项大于或等于零,又a17=0,所以数列an的前16项或前17项的和最大.方法二:(函数性质法)由y=-x2+33x的对称轴为x=距离 最近的整数为16,17.由Sn=-n2+33n的图像可知:当n17时,an0,当n18时,an0,
5、所以数列an的前 16项或前17项的和最大.33.2332(3)由(2)知当n17时,an0;当n18时,an0,d0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始 其余所有项都为负数,可把数列an分成两段处理.(3)等差数列an中,a10,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负 数,同样可以把数列分成两段处理.【跟踪训练】等差数列an中,a1=-10,d=2,则数列|an|的前3项的和S3=,前8项的和 S8=.【解析】a1=-10,d=2,所以an=-10+2(n-1)=2n-12,a6=0,故S3=|-10|+|-8|+|-6|=24,S8=|a1|+|a2|+|a3|+|a6|+|a
6、7|+|a8|=-a1-a2-a6+a7+a8=36.答案:24 36 类型三 等差数列前n项和的应用(数学建模)角度1 等差数列前n项和的实际应用 【典例】如图所示,有一块菜地共有20畦,每畦长12米,宽1.5米,离菜地18米处有一个池塘,浇水的人从池塘挑一担水,绕着第1畦菜地走一圈,浇完第1畦菜,然后他返回池塘边,再挑一担水,绕着第2畦菜地走一圈,浇完第2畦菜,以后照此办法,直至浇完整块菜地,问他一共走了多少路?【思路导引】由题意知:浇完后一畦菜地比前一畦菜地多走21.5米,所以此人每次所走路程为等差数列.【解析】设浇完第n(1n20)畦菜地后,再回到池塘边时浇水人所走的路程为 an,由题
7、意,数列an是等差数列,其中a1=218+2(12+1.5)=63,a20=218+2(12+1.5)+1921.5=120.所以S20=因为要计算的路程到浇完第20畦为止,所以所求路程为S=S20-(18+191.5)=1 830-46.5=1 783.5(米).答:他一共走了1 783.5米.12020(aa)20(63120)1 830().22米【变式探究】在一次数学竞赛中,获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列,总分为 656,且第一名的分数超过了90分(满分为100分).已知同学们的分数都是整数,那么第三名的分数是多少?【解析】设第一名的分数为a1,公差为d.则S8=8a1+d
8、=656,所以d=.因为a1(90,100,a1Z,dZ,所以当a1=96时,d=-4符合题意,此时第三名的分数是88.8 7211642a.7角度2 裂项相消法求和 【典例】已知数列an的各项均为正数,a1=1,且2an+1an+an+1-an=0.(1)设bn=,求证:数列bn是等差数列.(2)设cn=,求数列cn的前n项和Sn.【思路导引】(1)由题意证明bn+1-bn为一个常数,可得数列bn是等差数列.(2)由(1)得an=表示出cn,利用裂项相消法求和.n1a，na2n1，12n1【解析】(1)因为2an+1an+an+1-an=0.两边同除以an+1an,得2+所以bn+1-bn=
9、所以数列bn是以1为首项,2为公差的等差数列.nn 1110,aa 1n 1n11112,b1,aaa又(2)由(1)知,bn=2n-1,所以an=所以cn=1.2n1na1111(),2n1(2n1)(2n1)2 2n12n1n111 11111S(1)()()232 352 2n12n1111111(1)23352n12n111n(1).22n12n1【解题策略】1.等差数列解决实际问题的一般思路 2.裂项相消法求数列的和 裂项相消法求数列的和,主要适用于数列的通项公式是分式的形式.常见的裂项有:(1)若an是等差数列,则 (2)(3)(4)(5)nn 1nn 1nn 211111()a
10、ad aaa a，11 11()n(nk)k nnk211111()4n1(2n1)(2n1)2 2n12n1n1n11n1 nnn1 2222n11 11n(n2)4 n(n2)2(2n)111(6)1()(2n1)(2n1)2 2n12n1 nn 2111()2d aa【题组训练】1.(2020威海高一检测)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费总和为 万元.【解析】由题意,从第二年起维修费比上一年增加4万元,即每年的维修费成等差数列.设每年的维修费构成的等差数列为an,则an=12+4(n-1)=4n+8,S10
11、=1012+1094=300(万元).答案:300 122.数列an的通项公式an=其前n项和Sn=9,则n=.【解析】an=所以Sn=所以n=99.答案:99 1nn1，1n1nnn1，(2 1)(32)(n1n)n1 19.3.在数列an中,an=且bn=,求数列bn的前n项的和.【解析】an=因为bn=所以bn=所以数列bn的前n项和为 12nn 1n 1n 1，1n(12n)n 12 ，nn12aa，2118()n n 1nn 122，n111111118nS8(1)()()()8(1).22334nn 1n 1n 1 nn12aa 1.已知等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,S5
12、=15,则数列 的前100项和T100 为()A.B.C.D.课堂检测素养达标 1001019910199100101100nn11a a【解析】选A.因为a5=5,S5=15,所以 =15,所以a1=1.所以d=1,所以an=n.所以 则数列 的前100项的和为:T100=15a52（）51aa5 1nn11111a ann 1nn 1.（）nn11a a 111111100(1)()()1.223100101101101 2.数列 的前n项和为Sn=2n2-3n(nN*),若p-q=5,则ap-aq=()A.20 B.15 C.10 D.-5【解析】选A.当n2时,an=Sn-Sn-1=2
13、n2-3n-2(n-1)2+3n-3=4n-5,a1=S1=-1适合上式,所以an=4n-5,所以ap-aq=4(p-q),因为p-q=5,所以ap-aq=20.na 3.一物体从1 960 m的高空降落,如果第1秒降落4.90 m,以后每秒比前一秒多 降落9.80 m,那么经过 秒落到地面.【解析】设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数 列.所以4.90t+t(t-1)9.80=1 960,即4.90t2=1 960,解得t=20.答案:20 124.已知数列an的前n项和Sn=n2+n+1,则a6+a7+a10的值为 .【解析
14、】a6+a7+a10=S10-S5=111-31=80.答案:80 5.(教材二次开发:习题改编)已知数列 的前n项和Sn=3n-2,则数列的通项 公式是 .【解析】当n=1时,a1=S1=31-2=1;当n2时,Sn-1=3n-1-2,则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1=33n-1-3n-1=23n-1.此时若n=1,an=23n-1=231-1=2a1,故an=答案:an=n 11n12 3n2.，n 11n12 3n2，na na 6.等差数列an的前n项和Sn=-,求数列|an|的前n项和Tn.【解析】a1=S1=101,当n2时,an=Sn-Sn-
15、1=-=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n34.7,故n35时,an0,所以对数列|an|,n34时,23205nn222232053205nnn1n1 2222（）（）Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=-当n35时,Tn=|a1|+|a2|+|a34|+|a35|+|an|=a1+a2+a34-a35-an=2(a1+a2+a34)-(a1+a2+an)=2S34-Sn=+3 502,23205nn2223205nn22所以Tn=223205nnn34223205nn3 502n3522（）（）课时素养评价 六 等差数列
16、习题课【基础通关】(20分钟 35分)1.为了参加5 000 m长跑比赛,李强给自己制订了10天的训练计划;第1天跑 5 000 m,以后每天比前一天多跑400 m,李强10天一共跑的路程是()A.60 000 m B.64 000 m C.68 000 m D.72 000 m【解析】选C.将李强每一天跑的路程记为数列an,由题意知,an是等差数列,则a1=5 000 m,公差d=400 m.所以S10=10a1+d=105 000+45400=68 000(m),故李强10天一共跑了68 000 m.10(10 1)22.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak8,则k等于
17、()A.9 B.8 C.7 D.6【解析】选B.由an=所以an=2n-10.由52k-108,得 7.5k9,由于kN+,所以k=8.1nn1Sn1SSn2，3.1002-992+982-972+22-12的值是()A.5 000 B.5 050 C.10 100 D.20 200【解析】选B.对相邻两项由平方差公式得,原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.4.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|=()A.139 B.153 C.144 D.178【解析】选B.Sn=n(n-6).因为an0时,n .所以|a1|+|a2|
18、+|a15|=-a1-a2-a3+a4+a5+a15=S15-2S3=159-23(-3)=153.n(52n7)2 725.2020年3月美国某市突发新冠肺炎疫情期间,根据CDC的记录,3月12日该市新冠肺炎感染者有2万人,此后每天的新感染者平均比上一天的新感染者增加 5 000人,那么到3月18日该市新冠肺炎感染者共有 人.【解析】由题意可知,从3月12日到3月18日该市每天新感染者组成一个以2万为 首项,5 000为公差的等差数列.所以到3月18日纽约市新感染者共有720 000+765 000=245 000.答案:245 000 126.等差数列an中,a1=1,an,an+1是方程
19、x2-(2n+1)x+=0的两个根,求数列bn 的前n项和Sn.n1b【解析】因为an,an+1是方程x2-(2n+1)x+=0的两个根,所以an+an+1=2n+1,又因为数列an为等差数列,所以an+an+1=a1+a2n=1+a2n=2n+1,所以a2n=2n,所以an=n.anan+1=n(n+1)=,所以bn=,所以数列bn的前n项和Sn=1-.n1bn1b111n(n 1)nn 1111111n1223nn 1n 1n 1 L【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.=()A.B.C.D.111111 32 43 54 6n(n2)L1n(n2)11(1
20、)2n21 311()2 2n1n211(1)2n1【解析】选C.原式=.1111111111(1)23243546nn2L1111(1)22n1n21 311()2 2n1n22.在数列an中,a2=8,a5=2,且2an+1-an+2=an(nN+),则 的值是 ()A.-10 B.10 C.50 D.70 1210aaaL【解析】选C.由2an+1-an+2=an得2an+1=an+2+an,即数列an是等差数列,由 a2=8,a5=2得a1=10,d=-2,所以an=-2n+12,当1n6时,an0,当n7时an0,公差d0,a10S210,a110,从而得到Sn最大时n的值为10.【
21、解析】选B.由题意可得S21=21a1+d=21(a1+10d)=21a11,因为a10S210,所以a10a110,公差d0,a110,则2n-50,所以n3.所以|a1|+|a2|+|a10|=1+1+a3+a10=2+(S10-S2)=2+(102-410+2)-(22-42+2)=66.1n 12n5n2.，【误区警示】本题由于不注意an=-1容易当成等差数列的绝对值求和.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列an:,bn=,则数列bn的前n 项的和为 .1 13 123 12342 32 444 5555 L，nn11a a【解析】因为an=,所以bn=.所以Sn=4 .答案
22、:4 n(n 1)123nn2n 1n 12L nn114114()a an(n 1)nn 111111114(1)22334nn 1L 1(1)n 1 1(1)n 1 7.若等差数列an的前n项和为Sn=An2+Bn,则该数列的公差为 .【解析】数列an的前n项和为Sn=An2+Bn,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=An2+Bn-A(n-1)2-B(n-1)=2An+B-A,当n=1时也满足,所以d=2A.答案:2A 8.(2020江门高二检测)已知无穷项等差数列an中,它的前n项和为Sn,且S7S6,S7S8,若数列bn中bn=|an|,数列bn的和为Tn,则下列命题正确的是 .bn中
23、b7最大;an中a3或a4最大;当n8时anS6知a70,由S7S8知a80,故d0,所以当n8时an0,所以T3T11,所以错误.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020大庆高一检测)已知数列an的各项为正数的递增数列,其前n项和Sn 满足Sn=,设bn=10-an(nN).(1)求证:数列an是等差数列,并求an的通项公式;(2)设数列bn的前n项和为Tn,求Tn的最大值.2na1()2【解析】(1)当n=1时,a1=S1=,所以a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=,即 -2an-2an-1=0,所以 -2an+1=+2an-1+1,所以(an-1)2=(an-1+1
24、)2,所以an-1=an-1+1,所以an-an-1=2,所以an是等差数列,an=2n-1.21a1()222nn1a1a1()()2222nn1aa 2na2n1a(2)bn=10-an=-2n+11,b1=9,因为bn-bn-1=-2,所以an是等差数列,所以Tn=-n2+10n,当n=5时,Tnmax=-52+105=25.1nn bb210.一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,以此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?(2)如果每辆
25、车的行驶速度都是60 km/h,这支车队当天一共行驶了多少路程?【解析】由题意,知第1辆车休息时行驶了240 min,各辆车行驶的时间构成一 个等差数列an,其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.(1)因为a15=-1015+250=100,所以到下午6时,最后一辆车行驶了100 min.(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为 15=2 550(min)=(h),所以 这支车队当天一共行驶的路程为 60=2 550(km).240 1002852852【创新迁移】1.已知直线x+2y+=0与直线x-dy+11 =0互相平行且距离为m.等差数列an 的
26、公差为d,且a7a8=35,a4+a100,令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+|an|,则Sm的值为 ()A.60 B.52 C.44 D.36 55【解析】选B.由两直线平行得d=-2,由两平行直线间距离公式得m=10,因为a7(a7-2)=35得a7=-5或a7=7.因为a4+a10=2a70,所以a7=-5,所以an=-2n+9,所以Sm=|a1|+|a2|+|a3|+|a10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|-1|+|-3|+|-5|+|-7|+|-9|+|-11|=52.所以选B.211 55122.Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lg an,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg 99=1.(1)求b1,b11,b101.(2)求数列bn的前1 000项和.【解析】(1)设an的公差为d,根据已知有7+21d=28,解得d=1,所以an的通项 公式为an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.(2)因为bn=所以数列bn的前1 000项和为190+2900+31=1 893.0,1n 10,1,10n 100,2,100n 1 000,3,n1 000.
