1、第1讲随机事件的概率一、知识梳理1事件的分类确定事件必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2.概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例LLLn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)3事件的关系与运算定义符号表示包
2、含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA且AB，那么称事件A与事件B相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且AB常用结论概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2
3、)必然事件的概率：P(A)1.(3)不可能事件的概率：P(A)0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件P(AB)1，P(A)1P(B)二、习题改编1(必修3 P121练习T5改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为 答案：2(必修3 P123A组T3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10，20)20，30)30，
4、40)40，50)50，60)60，70)频数234542则样本数据落在区间10，40)的频率为 答案：0.45一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)随机事件和随机试验是一回事()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(6)两互斥事件的概率和为1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误；(2)频率与概率的关系理解不清致错1李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学
5、，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：成绩人数90分以上428089分1727079分2406069分865059分5250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：(1)90分以上的概率： ；(2)不及格(60分及以上为及格)的概率： 解析：(1)0.07；(2)0.1.答案：(1)0.07(2)0.12从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 解析：因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等
6、品”，且P(A)0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为P1P(A)10.650.35.答案：0.35随机事件的关系(师生共研) 从1，2，3，7这7个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()A B C D【解析】中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从17中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件【答案】C判断
7、互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集1设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，条件乙：“概率满足P(A)P(B)1”，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.若事件A与事件B是对立事件，则AB为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)P(B)1.
8、设掷一枚硬币3次， 事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次都出现正面”，则P(A)，P(B)，满足P(A)P(B)1，但A，B不是对立事件2一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率为的事件是()A恰有一个红球B两个小球都是白球C至多有一个红球 D至少有一个红球解析：选C.因为1，所以概率为的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”随机事件的频率与概率(师生共研) 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉
9、点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率【解】(1)所种作物的总株数为1234515，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：Y51484542频数2463所种作
10、物的平均年收获量为46.(2)由(1)知，P(Y51)，P(Y48).故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y48)P(Y51)P(Y48).某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关据统计，当X70时，Y460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成频率分布表；近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200
11、220频率(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率(2)由已知可得Y425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)P(Y530)P(X210)P(X70)P(X110)P(X220).故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为.互斥事件、对立事件的概率(
12、师生共研) 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率【解】(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则MABC，依题意，P(A)，P(B)，P(C)，因为A，B，C两两互斥，所以P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，故1张奖券的中奖概率为.(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)1P(AB)1.故1张奖券
13、不中特等奖且不中一等奖的概率为.求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)1某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为 解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A，B，C，D表示，则事件A，B，C，D是互斥事件，P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.答案：0.72(一题多解)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.1
14、0.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，
15、所以P(H)1P(G)0.44.基础题组练1(2018高考全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)1P(A)P(B)10.450.150.4.故选B.2(2020福建五校第二次联考)下列说法正确的是()A事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小C互斥事件一定是对立事件，对立事
16、件不一定是互斥事件D互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件解析：选D.对于选项A，“事件A，B中至少有一个发生”包括“事件A发生B不发生”“A不发生B发生”和“A，B都发生”，“事件A，B中恰有一个发生”包括“事件A发生B不发生”和“A不发生B发生”，当事件A，B为对立事件时，“事件A，B中至少有一个发生”的概率与“事件A，B中恰有一个发生”的概率相等，故错误；对于选项B，“事件A，B同时发生”与“事件A，B中恰有一个发生”是互斥事件，不能确定概率的大小，故错误；因为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，所以选项C错误，选项D正确故选D.3设A与B是互斥事件，A，B的对立
17、事件分别记为A，B，则下列说法正确的是()A与互斥 B与互斥CP(AB)P(A)P(B) DP()1解析：选C.根据互斥事件的定义可知，A与，与都有可能同时发生，所以A与互斥，与互斥是不正确的；P(AB)P(A)P(B)正确；与既不一定互斥，也不一定对立，所以D错误4掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A发生的概率为()A. B. C. D解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果依题意P(A)，P(B)，所以P()1P(B)1.因为表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A)P(A)P().
18、5某城市2019年的空气质量状况如表所示：污染指数T3060100110130140概率p其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为 解析：由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为p.答案：6口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有 个解析：由题意知，摸出黑球的概率为10.420.280.3.设黑球有n个，则，故n15.答案：157某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智
19、力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.5
20、5.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.8某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B
21、表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得P(C)0.24.综合题组练1某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工
22、随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)解：(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均
23、数估计，其估计值为1.9(分钟)(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P(A1)，P(A2).P(A)1P(A1)P(A2)1.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.2某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需
24、支付小费现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得统计表：维修次数89101112频数1020303010记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的维修服务次数(1)若n10，求y与x的函数解析式；(2)若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修
25、服务？解：(1)y即yxN.(2)因为“维修次数不大于10”的频率0.60.8，所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，则n的最小值为11.(3)若每台都购买10次维修服务，则有下表：维修次数x89101112频率0.10.20.30.30.1费用y2 4002 4502 5003 0003 500此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y12 4000.12 4500.22 5000.33 0000.33 5000.12 730(元)；若每台都购买11次维修服务，则有下表：维修次数x89101112频率0.10.20.30.30.1费用y2 6002 6502 7002 7503 250此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y22 6000.12 6500.22 7000.32 7500.33 2500.12 750(元)，因为y1y2，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务
