1、1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲 1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义 1命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫做命题其中的语句叫真命题，的语句叫假命题 判断真假判断为真判断为假2四种命题及相互关系 3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性关系 4充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的，q是p的；(2)如果pq，qp，则p是q的 相同没有充分条件必要条件充要条件
2、【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x34”是“a2且 b2”的充分条件()(6)若(0，2)，则“sin 1”的充要条件是“32”()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1命题“若 4，则 tan 1”的逆否命题是()A若 4，则 tan 1 B若 4，则 tan 1C若 tan 1，则 4D若 tan 1，则 4【解析】命题“若 4，则 tan 1”的逆否命题是“若tan 1，则 4”，故选 C.【答案】C2已知命题p：若x1，则向量a(1，x)与b(x2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A0 B2C3
3、 D4【解析】向量a，b共线xx(x2)0 x0或x1，命题p为真，其逆命题为假，故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.【答案】B 3(2015陕西)“sin cos”是“cos 20”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】先将cos 20等价转化，再利用充分条件、必要条件的定义进行判断 cos 20等价于cos2 sin2 0，即cos sin.由cos sin 可得到cos 20，反之不成立，故选A.【答案】A 4(2014安徽)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件
4、 D既不充分也不必要条件【解析】ln(x1)0，0 x11，1x0.x0是1x0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0 B若方程x2xm0有实根，则m0 C若方程x2xm0没有实根，则m0 D若方程x2xm0没有实根，则m0【解析】(1)只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以为假命题；符合两个平面相互垂直的判定定理，所以为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知为真命题(2)根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2x
5、m0没有实根，则m0”，故选D.【答案】(1)D(2)D【思维升华】(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假 跟踪训练 1(1)命题“若 3，则 cos 12”的逆命题是()A若 3，则 cos 12B若 3，则 cos 12C若 cos 12，则 3D若 cos 12，则 3(2)命题“若x，y都是
6、偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数 B若xy是偶数，则x与y都不是偶数 C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数 D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.【答案】(1)C(2)C【解析】(1)命题“若 3，则 cos 12”的逆命题是“若cos 12，则 3”题型二 充要条件的判断【例 2】(1)(2015重庆)“x1”是“log12(x2)1log12(x2)0，log12(x2)1x1，“
7、x1”是“log12(x2)0，2xa，x0有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0 B0a12C.12a1(2)已知集合 Ax|x2 mx10，若 AR，则实数 m的取值范围为()Am4C0m4 D0m1.观察选项，根据集合间关系a|a1，故答案选A.【答案】(1)A(2)A(2)AR，则 A，即等价于方程 x2 mx10 无实数解，即 m40，即 m4，选 A.注意 m0 时也表示 A.【思维升华】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)
8、要注意区间端点值的检验 跟踪训练3(1)(2016浙江“六市六校”联盟模拟)条件p：2x4，条件q：(x2)(xa)0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是()A(4，)B(，4)C(，4D4，)(2)已知命题 p：实数 m 满足 m212a20)，命题 q：实数 m 满足的方程 x2m1 y22m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，且p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围为_【解析】(1)由题意，可得p是q的充分不必要条件，x|2x4x|(x2)(xa)4，即a0，m27am12a20，得3am4a，即命题 p：3am0.由 x2m1 y22m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，可
9、得 2mm10，解得 1m32，即命题 q：1m1，4a32或3a1，4a32，解得13a38，所以实数 a 的取值范围是13，38.【答案】(1)B(2)13，38思想与方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用【典例】(1)设p：|4x3|1；q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.0，12B.0，12C(，012，D(，0)12，(2)f(x)是R上的增函数，且f(1)4，f(2)2，设Px|f(x t)13，Q x|f(x)1 Ct3Dt3【解析】(1)设 Ax|4x3|1，Bx|x2(2a1)xa(a1)0，易知 Ax12 x1，B
10、x|axa1 由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，从而 p 是 q 的充分不必要条件，即 AB，a12，a11或a12，a11，故所求实数 a 的取值范围是0，12.(2)依题意，Px|f(xt)13x|f(xt)2x|f(xt)f(2)，Qx|f(x)4x|f(x)f(1)因为函数f(x)是R上的增函数，所以Px|xt2x|x2t，Qx|x1，要使“xP”是“xQ”的充分不必要条件，需有2t3.【答案】(1)A(2)D【温馨提醒】(1)本题用到的等价转化 将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系 将条件之间的关系转化成集合之间的关系(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简
11、单、熟悉的问题在解题中经常用到 方法与技巧 1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定 2充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：即利用AB与綈B綈A；BA与綈A綈B；AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)：若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件 失误与防范 1当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提 2判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式 3判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言
