1、考点规范练 44 立体几何中的向量方法 考点规范练 B 册第 29 页 基础巩固 1.直线 l 的方向向量 s=(-1,1,1),平面 的法向量为 n=(2,x2+x,-x).若直线 l平面,则 x 的值为()A.-2 B.-2 C.2 D.2 答案:D 解析:当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得x=2.2.(2019 四川棠湖中学模拟)已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面 ABC 的法向量的是()A.(-1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-33,-33,-33)D.(33,33,-33)答案
2、:C 解析:由题意,得=(-1,1,0),=(-1,0,1),设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的法向量,则=0,=0,化简得-+=0,-+=0,x=y=z.故选 C.3.如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,以 CD,CB,CE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系,AB=2,AF=1,M 在 EF 上,且 AM平面 BDE,则点 M 的坐标为()A.(1,1,1)B.(23,23,1)C.(22,22,1)D.(24,24,1)答案:C 解析:设 M(x,x,1).由已知得 A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),
3、则=(x-2,x-2,1),=(2,-2,0),=(0,-2,1).设平面 BDE 的一个法向量为 n=(a,b,c),则 ,即 2-2=0,-2+=0.解得=,=2.令 b=1,则 n=(1,1,2).又 AM平面 BDE,所以 n =0,即 2(x-2)+2=0,得 x=22.所以 M(22,22,1).4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是棱 AB 的中点,则点 E 到平面 ACD1的距离为()A.12 B.22 C.13 D.16 答案:C 解析:如图,以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系
4、,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).从而1=(1,1,-1),=(-1,2,0),1=(-1,0,1),设平面 ACD1的法向量为 n=(a,b,c),则=0,1=0,即-+2=0,-+=0,得 =2,=.令 a=2,则 n=(2,1,2).所以点 E 到平面 ACD1的距离为 h=|1|=2+1-23=13.5.如图,过正方形 ABCD 的顶点 A,作 PA平面 ABCD.若 PA=BA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是()A.30 B.45 C.60 D.90 答案:B 解析:(方法一)建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面
5、 APB 与平面 PCD 的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面 ABP 与平面 CDP 所成二面角的余弦值为12|1|2|=22,故所求的二面角的大小是 45.图 图(方法二)将其补成正方体.如图,不难发现平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角就是平面 ABQP 和平面 CDPQ 所成的二面角,其大小为 45.6.在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则 AC1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为()A.22 B.155 C.64 D.63 答案:C 解析:取 B1C1的中点 D1,以 A1为原点,A1D1,A1A 所在直线为 x 轴、z 轴建立如
6、图所示的空间直角坐标系,设 AB=2,则 C1(3,1,0),A(0,0,2),1=(3,1,-2),平面 BB1C1C 的一个法向量为 n=(1,0,0).所以 AC1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为|1|1|=38=64.7.如图,在正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC与平面 PAC 所成的角为 .答案:30 解析:如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-2,2).则=(2a,0,0),=(-
7、,-2,2),=(a,a,0).设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1),则 cos=|=222=12.=60,直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90-60=30.8.在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中,ABC=90,ADBC,SA平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,则平面 SCD 与平面 SAB 所成锐二面角的余弦值是 .答案:63 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则依题意可知,D(12,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),可知=(12,0,0)是平面 SAB 的一个法向量.设平面 SCD 的法向量 n=(x,y,z),因为=(12
8、,0,-1),=(12,1,0),所以 n =0,n =0,即2-z=0,2+y=0.令 x=2,则 y=-1,z=1,所以 n=(2,-1,1).设平面 SCD 与平面 SAB 所成的锐二面角为,则 cos=|=122+0(-1)+01(12)222+(-1)2+12=63.9.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1B1=2,BC=2.(1)若 E 为线段 CC1的中点,求证:平面 A1BE平面 B1CD;(2)若点 P 为侧面 A1ABB1(包含边界)内的一个动点,且 C1P平面 A1BE,求线段 C1P 长度的最小值.解:由题意知 DA,DC,DD1两两垂直,分别以
9、DA,DC,DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的坐标系,则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0).(1)证明:E 是线段 CC1的中点,E(0,2,1).1=(2,2,2),=(0,2,0),1=(0,-2,2),=(-2,0,1).设 m=(x1,y1,z1)是平面 B1CD 的法向量,则1 =21+21+21=0,=21=0,解得1=-21,1=0,故可取 m=(-2,0,1).设 n=(x2,y2,z2)是平面 A1BE 的法向量,则1 =-22+22=0,
10、=-22+2=0,解得2=22,2=22,故可取 n=(1,2,2).mn=-2 1+0 2+1 2=0,mn,平面 A1BE平面 B1CD.(2)P 为侧面 A1ABB1(包含边界)内的一个动点,设 P(2,a,b),且 0a2,0b2,则1=(2,a-2,b-2).C1P平面 A1BE,1 n,1 n=2+2(a-2)+2(b-2)=0,解得 a=3-b,故 1b2,|1|=2+(-2)2+(-2)2=2+(1-)2+(-2)2=22-6+7=2(-32)2+52.1b2,当 b=32时,|1|取得最小值102.故线段 C1P 长度的最小值为102.10.(2019 广东深圳高三二模)在边
11、长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为边 AB,AD 的中点,以CE,CF 为折痕将DFC 和BCE 折起,使点 B,D 重合于点 P,连接 PA,得到如图所示的四棱锥 P-AECF.(1)求证:EFPC;(2)求直线 PA 与平面 PEC 所成角的正弦值.(1)证法一连接 AC,记 AC 与 EF 的交点为 O.在正方形 ABCD 中,ABBC,ADCD,翻折后 PCPE,PCPF,PEPF=P,PC平面 PEF,EF平面 PEF,EFPC.证法二连接 AC,记 AC 与 EF 的交点为 O,连接 PO.在正方形 ABCD 中,ACEF,BE=DF,O 为 EF 的中点,翻折后
12、,PE=PF,EFPO.而 ACEF,PO 与 AC 相交于点 O,EF平面 PAC.PC平面 PAC,EFPC.(2)解法一由(1)可知OPC 为直角三角形,OP=2,PC=4,OC=32,设 P 到 AC 的距离为 h,2 4=32 h,h=43,VP-AEC=13 SAECh=13 12 2443=169.SPCE=12 PCPE=4,设点 A 到平面 PCE 的距离为 h,VA-PCE=13 SPECh=43 h,43h=169,解得 h=43.在 RtPOC 中,cosPOC=13,cosPOA=-13.在POA 中,PA2=OA2+OP2-2OPOAcosPOA=163,PA=43
13、3.设 PA 与平面 PEC 所成角为,则 sin=33,直线 PA 与平面 PEC 所成角的正弦值为33.解法二连接 AC,AC 与 EF 交于点 O,以 OA,OE 所在的直线分别为 x,y 轴,过点 O 作垂直于面 ABCD 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,依题意有 A(2,0,0),C(-32,0,0),E(0,2,0),过点 P 作 PGAC,在 RtPOC 中,OP=2,PC=4,OC=32,OPPC=OCPG,PG=43,OG=2-2=23,P(-23,0,43),=(423,0,-43),=23,2,-43,=(32,2,0).PF=PE=2,EF=22,PFP
14、E,显然 PFPC,又 PEPC=P,PF平面 PEC,易知 F(0,-2,0),平面 PEC 的一个法向量=(23,-2,-43).设 PA 与平面 PEC 所成角为,则 sin=|=33,直线 PA 与平面 PEC 所成角的正弦值为33.11.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形,且垂直于底面 ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E 是 PD 的中点.(1)证明:直线 CE平面 PAB;(2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45,求二面角 M-AB-D 的余弦值.(1)证明取 PA 的中点 F,连接 EF,BF.
15、因为 E 是 PD 的中点,所以 EFAD,EF=12AD.由BAD=ABC=90得 BCAD,又 BC=12AD,所以 EFBC,四边形 BCEF 是平行四边形,CEBF,又 BF平面 PAB,CE平面 PAB,故 CE平面 PAB.(2)解由已知得 BAAD,以 A 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),=(1,0,-3),=(1,0,0).设 M(x,y,z)(0 x1),则=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-3).因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为
16、 45,而 n=(0,0,1)是底面 ABCD 的法向量,所以|cos|=sin45,|(-1)2+2+2=22,即(x-1)2+y2-z2=0.又 M 在棱 PC 上,设=,则 x=,y=1,z=3 3.由,解得 =1+22,=1,=-62(舍去),=1-22,=1,=62,所以 M(1-22,1,62),从而=(1-22,1,62).设 m=(x0,y0,z0)是平面 ABM 的法向量,则=0,=0,即(2-2)0+20+60=0,0=0,所以可取 m=(0,-6,2).于是 cos=|=105.因此二面角 M-AB-D 的余弦值为105.能力提升 12.如图,在正方体 ABCD-A1B1
17、C1D1中,E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 B.EFA1D,EFAC C.EF 与 BD1相交 D.EF 与 BD1异面 答案:B 解析:以 D 点为坐标原点,以 DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为 1,则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(13,0,13),F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),1=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(13,13,-13),1=(-1,
18、-1,1),=-13 1,1 =0,从而 EFBD1,EFA1D,EFAC.故选 B.13.三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,N 是 BC 的中点,点 P 在 A1B1上,且满足1=11,直线 PN 与平面 ABC 所成角 的正弦值取最大值时,的值为()A.12 B.22 C.32 D.255 答案:A 解析:分别以 AB,AC,AA1为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz,如图所示.由题意知 P(,0,1),N(12,12,0),则=(12-,12,-1).易得平面 ABC 的一个法向量为 n=(0,0,1).则直线 PN 与平
19、面 ABC 所成的角 满足 sin=|cos|=1(-12)2+54,于是问题转化为二次函数求最值问题.又因为 0,2,当 最大时,sin 最大,所以当=12时,sin 最大为255,同时直线 PN 与平面ABC 所成的角 取得最大值.故选 A.14.如图,等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 C-AB-D 的余弦值为33,M,N 分别是AC,BC 的中点,则 EM,AN 所成角的余弦值等于 .答案:16 解析:过 C 点作 CO平面 ABDE,垂足为 O,取 AB 中点 F,连接 CF,OF,则CFO 为二面角 C-AB-D 的平面角,设 AB=1,则 CF=32
20、,OF=CFcosCFO=12,OC=22,则 O 为正方形 ABDE 的中心,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,则 E(0,-22,0),M(24,0,24),A(22,0,0),N(0,24,24),=(24,22,24),=(-22,24,24),cos=|=16.15.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA底面 ABC,BAC=90,点 D,E,N 分别为棱 PA,PC,BC 的中点,M 是线段 AD 的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN平面 BDE;(2)求二面角 C-EM-N 的正弦值;(3)已知点 H 在棱 PA 上,且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值
21、为721,求线段 AH 的长.解:如图,以 A 为原点,分别以,方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:=(0,2,0),=(2,0,-2),设 n=(x,y,z)为平面 BDE 的法向量,则=0,=0,即 2=0,2-2=0.不妨设 z=1,可得 n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得 n=0.因为 MN平面 BDE,所以 MN平面 BDE.(2)易知 n1=(1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量.
22、设 n2=(x,y,z)为平面 EMN 的法向量,则2=0,2=0.因为=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以-2-=0,+2-=0.不妨设 y=1,可得 n2=(-4,1,-2).因此有 cos=12|1|2|=-421,于是 sin=10521.所以,二面角 C-EM-N 的正弦值为10521.(3)依题意,设 AH=h(0h4),则 H(0,0,h),进而可得=(-1,-2,h),=(-2,2,2).由已知,得|cos|=|=|2-2|2+523=721,整理得 10h2-21h+8=0,解得 h=85或 h=12.所以,线段 AH 的长为85 或12.高考预测 16.在直三棱柱
23、 ABC-A1B1C1中,ABC 为正三角形,点 D 在棱 BC 上,且 CD=3BD,点 E,F 分别为棱 AB,BB1的中点.(1)证明:A1C平面 DEF;(2)若 A1CEF,求直线 A1C1与平面 DEF 所成的角的正弦值.(1)证明如图,连接 AB1,A1B,交于点 H,A1B 交 EF 于点 K,连接 DK,因为四边形 ABB1A1为矩形,所以 H 为线段 A1B 的中点.因为点 E,F 分别为棱 AB,BB1的中点,所以点 K 为线段 BH 的中点,所以 A1K=3BK.又因为 CD=3BD,所以 A1CDK.又 A1C平面 DEF,DK平面 DEF,所以 A1C平面 DEF.
24、(2)解由(1)知,EHAA1.因为 AA1平面 ABC,所以 EH平面 ABC.因为ABC 为正三角形,且点 E 为棱 AB 的中点,所以 CEAB.故以点 E 为坐标原点,分别以,的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz,设 AB=4,AA1=t(t0),则A1(2,t,0),C(0,0,23),E(0,0,0),F(-2,2,0),D(-32,0,32),所以1=(-2,-t,23),=(-2,2,0).因为 A1CEF,所以1 =0,所以(-2)(-2)-t2+23 0=0,解得 t=22.所以=(-2,2,0),=(-32,0,32).设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z),则 =0,=0,所以-2+2=0,-32 +32 =0,取 x=1,则 n=(1,2,3),又因为11=(-2,0,23),设直线 A1C1与平面 DEF 所成的角为,则 sin=|cos|=|11|11|=464=66,所以直线 A1C1与平面 DEF 所成的角的正弦值为66.
