1、第8讲探索性问题母题已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由(2)思路分析假设四边形OAPB能为平行四边形线段AB与线段OP互相平分计算此时直线l的斜率下结论(1)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM
2、，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)解四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP，由得x，即xP.将点的坐标代入直线l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形子题1已知椭圆C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2.(1)若M为C上任意一点，求|MF1|MF2|的最大值；
3、(2)椭圆C上是否存在点P(异于点A1，A2)，使得直线PA1，PA2与直线x4分别交于点E，F，且|EF|1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由椭圆的定义可知|MF1|MF2|4，|MF1|MF2|24，当且仅当|MF1|MF2|2时等号成立，|MF1|MF2|的最大值为4.(2)假设存在满足题意的点P.不妨设P(x0，y0)(y00)，则2x02.由题意知直线PA1的方程为y(x2)，令x4，得yE，直线PA2的方程为y(x2)，令x4，得yF，由|EF|yEyF1，得x04y0，由x4y4，得5y8y0120，1760，x1x2，x1x24，(*)假设在x轴上存在一点
4、A(a,0)，使得x轴平分MAN，kAMkAN0，0，0，又y1k(x12)，y2k(x22)，0，把(*)式代入上式化简得4a8，a2，点A(2,0)，综上所述，在x轴上存在一点A(2,0)，使得x轴平分MAN.规律方法探索性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论跟踪演练1已知椭圆G：y21，点B(0,1)，点A为椭圆G的右顶点，过原点O的直线l与椭圆
5、G交于P，Q两点(点Q在第一象限)，且与线段AB交于点M.是否存在直线l，使得BOP的面积是BMQ的面积的3倍？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解设Q(x0，y0)，则P(x0，y0)，可知0x02,0y01.假设存在直线l，使得BOP的面积是BMQ的面积的3倍，则|OP|3|MQ|，即|OQ|3|MQ|，即，得M.又A(2,0)，直线AB的方程为x2y20.点M在线段AB上，x0y020，整理得x032y0，点Q在椭圆G上，y1，把式代入式可得8y12y050，判别式(12)2485160，该方程无解不存在直线l，使得BOP的面积是BMQ的面积的3倍2(2020滁州模拟)已知椭
6、圆E：1的左、右焦点分别为F1，F2，是否存在斜率为1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆E相交于C，D两点，且|CD|AB|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解假设存在斜率为1的直线l，设为yxm，由题意知，F1(1,0)，F2(1,0)，所以以线段F1F2为直径的圆为x2y21，由题意，圆心(0,0)到直线l的距离d1，得|m|0，解得m27，又|m|，所以m22.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|CD|x2x1|，若|CD|AB|，则，整理得4m436m2170，解得m2或m2.又m20，x1x2，x1x2，sinPQAsin
7、PQB，PQAPQB，kQAkQB，(m1)(x1x2)2kx1x2，即(m1)2k，解得m2，存在定点Q(0,2)，使得恒成立2在平面直角坐标系xOy中已知点Q(，0)，直线l：x2，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之比为.已知点H(，0)，G是圆E：x2y22x210上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P.点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|3，动点P满足.(1)在这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(2)设圆O：x2y22上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该
8、定点坐标；若不过定点，请说明理由解(1)若选，设P(x，y)，根据题意得，整理，得1，所以动点P的轨迹C的方程为1.若选，由E：x2y22x210得(x)2y224，由题意得|PH|PG|，所以|PH|PE|PG|PE|EG|2|HE|2，所以点P的轨迹C是以H，E为焦点的椭圆，且a，c，则b，所以动点P的轨迹C的方程为1.若选，设P(x，y)，S(x，0)，T(0，y)，则x2y29，(*)因为，所以即将其代入(*)，得1，所以动点P的轨迹C的方程为1.(2)当过点A且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为x，x，当切线方程为x时，M(，)，N(，)，以MN为直径的圆的方程为(x)2y22
9、.当切线方程为x时，M(，)，N(，)，以MN为直径的圆的方程为(x)2y22.由联立，可解得交点为(0,0)当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为ykxm，即，即m22(k21)联立切线与椭圆C的方程并消去y，得(12k2)x24kmx2m260.因为16k2m24(12k2)(2m26)8(m26k23)8(2k226k23)8(4k21)0，所以切线与椭圆C恒有两个交点设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，因为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)kmm20.所以OMON，所以以MN为直径的圆过原点(0,0)，综上所述，以MN为直径的圆过定点(0,0)
