1、阶段提升课 第一课 知识体系思维建模 考点整合素养提升题组训练一 集合的概念1已知集合A0，1，2，则集合Bxy|xA，yA的子集个数是()A8 B16 C32 D64【解析】选C.xy的运算结果如表所示：yx012001211012210由表知B2，1，0，1，2，共5个元素，故其子集个数为2532.2比较下列集合的异同：(1)Ax|yx21，xR(2)By|yx21，xR(3)C(x，y)|yx21，xR(4)Dx|x M，其中M0，1【解析】异：(1)集合中的代表元素是x，且x是二次函数yx21的自变量，所以集合A是二次函数yx21的自变量的取值范围，即AR.(2)集合中的代表元素为y，
2、且y满足yx211(xR).所以集合B是二次函数yx21(xR)的函数值的集合，即By|y1(3)集合中的代表元素是有序实数对(x，y)，几何意义是点(x，y)的集合，点(x，y)的坐标满足二次函数式即二元二次方程yx21(xR)的解所以集合C是抛物线yx21(xR)上的点组成的集合(4)集合中的代表元素是x，且x是集合M的子集，所以集合D是由M的全部子集组成的集合，故D，0，1，0，1同：(1)(2)都是数集，(1)(2)(3)中元素的属性都与二次函数yx21相关1集合之间的包含关系与基本运算都是用通过集合的元素定义的，因此，求解集合问题时，首先应明确集合元素的特征与性质，按照“先定元素，再
3、定性质”的方法步骤进行2数学中的三类语言自然语言、符号语言、图形语言三种数学语言是数学学习与交流中三类常用的语言，这在集合的包含关系与基本运算等内容中表现得非常突出自然语言通俗易懂，符号语言简捷明快，图形语言直观形象，只有准确理解并灵活实现三种语言之间的转换，解题时才能得心应手【补偿训练】已知集合Px|x是直线，Qx|x是圆，则PQ中元素个数为()A0 B1 C2 D0或1或2【解析】选A.因为集合Px|x是直线，Qx|x是圆，直线和圆是不同的几何图形，则PQ，所以PQ中的元素个数为0.题组训练二 集合间的关系1已知集合AxR|2x0，则A与B之间的关系为()AAB BAB CAB D.AB【
4、解析】选A.Bx|x3，把集合A，B在数轴上表示出来：由图知，AB.2已知x|x25x60 a，2，2a1，求实数a的值【解析】由x|x25x602，3得3a，2，2a1，所以a3或2a13，解得a2或3.当a2时，集合a，2，2a1中的元素不满足互异性，舍去当a3时，a，2，2a13，2，5满足题意综上得，a3.3已知集合Ax|x0，xR，Bx|x2xp0，且B A，求实数p的取值范围【解析】(1)当B时，B A，由(1)24p14.(2)当B，且B A时，方程x2xp0存在两个正实根由x1x210，(1)24p0，且x1x2p0，得004已知集合Ax|x1，集合Bx|3ax3a，aR(1)
5、当a4时，求AB.(2)若B A，求实数a的取值范围【解析】(1)当a4时，Bx|1x7又Ax|x1，所以ABx|x1(2)当B时，3a3a，解得a0.此时B A成立；当B 时，3a3a，解得a0.又B A，所以3a1，解得a2.所以0a2.综上，实数a的取值范围为a2.1判断两集合关系的两种常用方法一是化集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系2处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析题组训练三 集合的基本运算1已知全集U0，
6、1，2，3，4，5，集合A0，1，2，3，B2，4，则U(AB)等于()A5 B1，5 C3，5 D1，3，5【解析】选A.因为AB0，1，2，3，4，所以 U(AB)52如图，设全集UR，Mx|x1，xR，Nx|x0或x2，则图中阴影部分表示的集合为()A.x|1x2 Bx|1x2Cx|1x2 Dx|1x2【解析】选D.由题意可得：MNx|x1或x2，结合Venn图可得图中阴影部分表示的集合为：R()MNx|1x23已知集合Axx24a2 xa30，Bxx25x60，Cx2x25x20，若ABAC，求a的值【解题指南】先解一元二次方程求得集合B，C.根据ABAC 判断2A，将x2代入x2 4
7、a2xa30，求得a的可能取值，验证ABAC 确定a的值【解析】依题意B2，3，C12，2.ABAC，所以ABAC2，所以2A，所以222(4a2)a30，即2a2a150，解得a3或a52，当a3时，A2，3，此时ABAC，舍去；当a52 时，A2，14，此时满足题意综上，a52.4已知集合Ax|1x3，Bx|0 x2(1)分别求AB，(RB)A.(2)已知集合C|x 1xa，若C A，求实数a的取值范围【解析】(1)ABx|1x1时，CA，则12或x2或x0，所以 UBx|0 x2，所以题图中阴影部分表示的集合为A UB0，1，22已知集合Ax|0 x2，Bx|axa3(1)若ABA，求a
8、的取值范围(2)若(RA)BR，求a的取值范围(3)是否存在a，使(RA)BR，且AB.【解析】(1)因为ABA.所以A B.结合数轴可知，a0，a32，即1a0.(2)因为Ax|0 x2，所以 RAx|x2因为(RA)BR，所以a0，a32，解得1a0.(3)不存在因为(RA)BR，所以1a0，故a32，3，所以A B，这与AB矛盾，故a不存在【补偿训练】设集合Ax|1x6，Bx|m1x2m1，已知ABB，求实数m的取值范围【解析】当m12m1，即m2时，B，符合题意当m12m1，即m2时，B.由BA，借助数轴表示如图所示则m11，2m16，解得0m52.综上所述，实数m的取值范围是m2或0
9、m52.数形结合法在集合问题中的应用解决数学问题，不能仅仅局限在数字上，适当地变通可以更好地解决问题集合离不开元素，给集合元素找一个合适的“家”Venn图，可以直观形象地解决问题，所以Venn图法是解决集合问题的有力工具在进行集合运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解题组训练
10、五 集合间的关系与集合运算的综合1已知集合Ax|3x5，Bx|a1x4a1，且ABB，B，则实数a的取值范围是()Aa1 B0a1 Ca0 D4a1【解析】选B.根据ABB得到B A，且B ，集合A x|3x5，Bx|a1x4a1，即4a15，a13，4a1a1解得：0a1.2已知集合A2，2，Bx|x2 ax1 0.(1)若a1，求AB.(2)若ABA，求实数a的取值集合【解题指南】(1)当a1时，求出集合B的等价条件，结合交集定义进行计算，即可得出结果(2)根据ABA转化为B A，结合集合关系进行求解，即可得出结果【解析】(1)由a1得Bx|x2 ax1 0 x|x2 x1 01，2，又A
11、2，2，所以AB 2.(2)由ABA得B A.当a0时，B 2符合题意，当a0时，由(x2)(ax1)0得ax2x1a0，而B A，所以1a 2或1a 2，解得a12 或12，所以a的取值集合为12，0，12.3设集合Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，xR(1)若ABB，求a的值(2)若ABB，求a的值【解析】集合 Ax|x24x04，0(1)由于 ABB，则有 BA，可知集合 B 为空集，或只含元素 0 或4，或 BA.若 B，则 4(a1)24(a21)0，得 a1.若 B0，则0，a210，所以 a1.若 B4，则0，a28a70，所以无解当BA时，2（a1）4，a210
12、，所以a1.由，得a1或a1.(2)因为ABB，所以AB.又A4，0，而B至多只有两个元素，因此应有AB，故应有a1.【补偿训练】已知集合Ax|1x5，Bx|axa3，若B(AB)，则a的取值范围为_【解析】因为Ax|1x5，Bx|axa3，且B(AB)，所以BA.当B时，满足B A，此时aa3，即a32；当B时，要使B A，则aa3，a1，a35，解得32 a1.由可知，a的取值范围为a|a1答案：a|a11集合的运算中，首先要明确ABB和ABB的含义，将ABB和ABB分别转化为等价的关系式BA和AB是解决本题的关键，注意在解决包含关系式BA时，不要漏掉B的情况2对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误，解题时要注意三种语言的相互转化
