1、南康中学20202021学年度第一学期高二第三次大考数 学（理科）试 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知一个几何体三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（ ）A. 上面圆台，下面为圆柱B. 上面为圆台，下面为棱柱C. 上面为棱台，下面为棱柱D. 上面为棱台，下面为圆柱210名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）ABCD3某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2,
2、 , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间481, 720的人数为 （ ）A11B12C13D144. 如图，在正方体中，异面直线和所成角的大小为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 1205. 已知，是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则6. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形按斜二测画法画出的直观图，则原图形的周长是（ ）cmA. B. C. D. 7执行如图所示的程序框图，如果输入的是10，那么输出的是（ ）A2 B C D8. 若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角
3、形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）A. B. 1C. D. 29等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A8 B10 C12D1410. 五四青年节活动中，高三（1）、（2）班都进行了场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2）班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为（ ）A. B. C. D. 11正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,则O到平面ABC1D1的距离为( )A. B. C. D.12. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
4、c若sin B2sin Acos C0，则当cos B取最小值时，（ ）A. B. C. 2D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上.13. 已知数列满足，则通项_.14. 若，则函数有零点的概率为_.15.在面积为4的正方形中，是线段的中点，现将图形沿折起，使线段重合，得到一个四面体（其中点B重合于点A），则该四面体外接球的表面积为_ 16.边长为1的正方体,点P为面对角线上一点，则AP+BP的最小值为_.三解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17赣州市公安局交警支队依据中华人民共和国道路交通安全法第90条规定：所有主干道
5、路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数参考公式：18如图，在正三棱柱中，为的中点. （1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组，其部分频率分
6、布直方图如图所示观察图形，回答下列问题（1）求成绩在的频率，并补全这个频率分布直方图：（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）（3）从成绩在和的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率 20.已知为等比数列，且各项均为正值，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求.21. 已知直线过定点，圆：（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线方程22. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，PA底面ABCD，(1)求证：平面PCA平面PCD；(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与
7、底面ABCD所成的角为45，求二面角 的余弦值南康中学20202021学年度第一学期高二第三次大考数学（理科）参考答案一.选择题112 ABBCB BCDAD BB12.由sin B2sin Acos C0，根据正弦定理和余弦定理得，当且仅当，即时取等号，cos B取最小值故选：B二填空题13. 14. 15. 16. 三解答题17解：（1）由表中数据，计算；2分4分 6分所以与之间的回归直线方程为 8分（2）时，10分18（1）证明：连接，交于点，连接.因为为矩形，则为的中点；因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以/平面.4分（2）在正三棱柱中，因为平面，平面，所以.因为为等边三角形，为
8、的中点，所以.又因为，平面，所以平面；8分（3）由（2）知，平面，所以 即为直线与平面所成的角，设等边的边长为2，则，所以在中，所以.即直线与平面所成的角的正弦值为.12分19解：（1）因为各组的频率之和等于1，所以成绩在的频率为2分补全频率分布直方图如图所示：（2）根据题意，60分及以上的分数在，这四个组，其频率之和为，故本次考试的及格率为75% 6分利用中值估算学生成绩的平均分，则有 8分所以本次考试的平均分为71分。（3）成绩在的人数为人，成绩在的人数为人从成绩在和的学生中选两人，将分数段的4人编号为，将分数段的2人编号为，从中任选两人，则基本事件构成集合共15个，其中同一分数段内所含基
9、本事件为：，共7个，故概率 12分20(1)设数列的公比为q，由得，所以 由条件可知，故2分由，得，故数列的通项公式为；4分（2）因为 6分故8分10分 所以数列的前n项和.12分21.（1）由题，得圆的标准方程为，则圆心坐标为，半径1分当直线的斜率不存在时，直线，符合题意；2分当直线的斜率存在时，设直线：，即3分因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即，解得，4分所以直线的方程为，化为一般式为 5分综上，l的方程为或； 6分（2）由第（1）知直线与圆交于两点，则斜率必定存在，则直线l的方程为，所以圆心到直线l的距离，7分所以面积，9分所以当时，取得最大值2，由，解得或，11分所以直线l的方程为或12分22.解：(1)在平行四边形ABCD中，ADC=60，由余弦定理得，ACD=90，即CDAC，1分又PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD，2分又，CD平面PCA.3分又CD平面PCD，平面PCA平面PCD.4分(2)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则，.设，则x=0，即点E的坐标为 6分又平面ABCD的一个法向量为，sin45解得 8分点E的坐标为，设平面EAB的法向量为，由得 令z=1，得平面EAB的一个法向量为 10分. 又二面角E-AB-D的平面角为锐角，所以，二面角E-AB-D的余弦值为 12分
