1、第4讲 不等式选讲考试要求1.不等式的基本性质，B级要求；2.|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不等式的解法，B级要求；3.不等式证明的基本方法(比较法、综合法、分析法)，B级要求；4.算术几何平均不等式与柯西不等式，A级要求；5.利用不等式求最大(小)值，B级要求；6.运用数学归纳法证明不等式，B级要求.知 识 梳 理1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|，当且仅当时，等号成立；(2)性质：|a|b|ab|a|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|ac|，当且仅当时，等号成立.|a|b|ab0|ab|bc|(ab)(bc)02.绝对值不等式的解法
2、(1)含绝对值的不等式|x|a的解法不等式a0a0a0|x|aRx|axa，或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|c；|axb|c.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.caxbcaxbc或axbc4.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.(1)比较法求差比较法知道abab0，ababb，只要证明即可，这种方法称为求差比较法.ab0
3、求商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时要证明ab，只要证明即可，这种方法称为求商比较法.(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.充分条件(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法.(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.相反诊 断 自 测1.(2015
4、江苏卷)解不等式x|2x3|2.2.(2014江苏卷)已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.3.(2013江苏卷)已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明 2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab).因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.考点一 含绝对值不等式的解法【例1】解不等式|x1|x2|5.解法一如图，设数轴上与2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间2，1不是不等式
5、的解集.把A向左移动一个单位到点A1，此时A1AA1B145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1AB1B5，故原不等式的解集为(，32，).规律方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解.考点二 含参数的绝对值不等式问题
6、规律方法不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面(如f(x)m的解集是空集，则f(x)m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.【训练2】(2016泰州二模)已知函数f(x)|x3|x2|.(1)求不等式f(x)3的解集.(2)若f(x)|a4|有解，求a的取值范围.解(1)f(x)|x3|x2|3，当x2时，有x3(x2)3，解得x2；当x3时，x3(x2)3，解得x；当3x2时，有2x13，解得1x2.综上，f(x
7、)3的解集为x|x1.(2)由绝对值不等式的性质可得，|x3|x2|(x3)(x2)|5，则有5|x3|x2|5.若f(x)|a4|有解，则|a4|5，解得1a9.所以a的取值范围是1，9.规律方法(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2,即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得.
8、若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件.思想方法1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便.2.不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法.易错防范1.理解绝对值不等式的几何意义.2.掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.3.利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征.4.注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.
