1、第二练一、选择题1.已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,其中一条渐近线的倾斜角为3,则双曲线C的离心率为()A.2或3B.2或233C.233 D.2答案D设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则不妨令一条渐近线方程为y=bax,则有ba=tan 3=3,所以e2=c2a2=a2+b2a2=1+3=4,所以双曲线C的离心率为2,故选D.2.已知向量a=(2,3),b=(6,m),且ab,则向量a在a+b方向上的投影为()A.655B.-655C.13D.-13答案A因为ab,所以ab=12+3m=0,解得m=-4,所以b=(6,-4),所以a+b=(8,-1),所以向量a
2、在a+b方向上的投影为a(a+b)|a+b|=655.3.已知函数f(x)=sinx+4(xR,0)的最小正周期为,将y=f(x)的图象向左平移|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是()A.2 B.38C.4 D.58答案D由题意知,2=,=2, f(x)=sin2x+4,将y=f(x)的图象向左平移|个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=sin2(x+|)+4,因为g(x)的图象关于y轴对称,故2|+4=2+k,kZ,故|=8+k2,kZ,结合选项可知,的一个值是58,选D.4.已知函数f(x)=(ex+e-x)ln1-x1+x-1,若f(a)=1,则f(-a)=()A.
3、1 B.-1C.3 D.-3答案D解法一:由题意得f(a)+f(-a)=(ea+e-a)ln1-a1+a-1+(e-a+ea)ln 1+a1-a-1=(ea+e-a)ln1-a1+a+ln1+a1-a-2=-2,所以f(-a)=-2-f(a)=-3,故选D.解法二:令g(x)=f(x)+1=(ex+e-x)ln1-x1+x,则g(-x)=(e-x+ex)ln1+x1-x=-(ex+e-x)ln1-x1+x=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以f(-a)=g(-a)-1=-g(a)-1=-f(a)-2=-3,故选D.二、填空题5.已知变量x,y满足约束条件x1,x+y-50,x-2y+10,则
4、目标函数z=2x+y的最小值为.答案6解析作出x1,x+y-50,x-2y+10的可行域,如图中阴影部分所示,可知当直线z=2x+y过点A(1,4)时,z取得最小值6.6.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图是全等的直角三角形,则该几何体的各个面中,最大面的面积为.答案22解析由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,记为三棱锥P-ABC,将其放在一个长方体中(如图所示).依题意得,PAC 与PBC是全等三角形,且AC=BC=2,PD=3.易求得PA=PB=13,AB=22,PAB在AB边上的高为11,所以SPAC=SPBC=12213=13,SPAB=121122=22,SABC=12
5、22=2.故最大面的面积为22.三、解答题7.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+2bsin A=csin C.(1)求C;(2)若a=2,b=22,线段BC的垂直平分线交AB于点D,求CD的长.解析(1)因为asin A+bsin B+2bsin A=csin C,所以a2+b2+2ab=c2,又cos C=a2+b2-c22ab=-22,又0C,所以C=34.(2)由(1)知C=34,所以c2=a2+b2-2abcos C=22+(22)2-2222-22=20,所以c=25.由csinC=bsinB,得2522=22sinB,解得sin B=5
6、5,从而cos B=255.设线段BC的垂直平分线交BC于点E,因为在RtBDE中,cos B=BEBD,所以BD=BEcosB=1255=52,因为点D在线段BC的垂直平分线上,所以CD=BD=52.8.某医药公司研发生产一种新的保健产品,从一批产品中随机抽取200盒作为样本测量产品的一项质量指标值,已知该指标值越高越好.由测量结果得到如下的频率分布直方图:(1)求a,并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由样本估计总体,结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布N(,102),计算该批产品的该项指标值落在(180,220上
7、的概率;国家有关部门规定每盒产品的该项指标值不低于150均为合格,且该项指标值从低到高依次分为:合格、优良、优秀三个等级,其中(180,220为优良,不高于180为合格,高于220为优秀,在的条件下,设该公司生产该产品1万盒的成本为15万元,市场上各等级的每盒该产品的售价(单位:元)如下表,求该公司每万盒的平均利润.等级合格优良优秀售价102030附:若N(,2),则P(-+)0.682 7,P(-2+2)0.954 5.解析(1)由10(20.002+0.008+0.009+0.022+0.024+a)=1,解得a=0.033,则平均值x=100.002170+100.009180+100.
8、022190+100.033200+100.024210+100.008220+100.002230=200,即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.(2)由题意可得=x=200,=10,则P(-2+2)=P(180220)0.954 5,则该批产品的指标值落在(180,220上的概率为0.954 5.设每盒产品的售价为X元,由可得X的分布列为X102030P0.022 750.954 50.022 75则每盒该产品的平均售价为E(X)=100.022 75+200.954 5+300.022 75=20,故每万盒该产品的平均售价为20万元,故该公司每万盒的平均利润为20-15=5(万元).
