1、1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合
2、成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)3向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题【知识拓展】1若G是ABC的重心，则0.2若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(3)在ABC中，若0，
3、则ABC为钝角三角形()(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：t()，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()1(教材改编)已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(1，4)，则该三角形为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析(2，2)，(4，8)，(6，6)，|2，|4，|6，|2|2|2，ABC为直角三角形2已知在ABC中，|10，16，D为边BC的中点，则|等于()A6 B5C4 D3答案D解析在ABC中，由余弦定理可得，AB2AC22ABACcos ABC2，又|cos A16，
4、所以AB2AC232100，AB2AC268.又D为边BC的中点，所以2，两边平方得4|2683236，解得|3，故选D.3(2016武汉模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是_答案x2y40解析由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.4(2016银川模拟)已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，则|2ab|的最大值为_答案4解析设a与b夹角为，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4|2ab|的最大值为4.5已知一个物体在大
5、小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_ J.答案300解析WFs|F|s|cosF，s6100cos 60300(J)题型一向量在平面几何中的应用例1(1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心 B外心 C重心 D垂心答案(1)(2)C解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.(2)由原等式，得
6、()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心引申探究本例(2)中，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解(1)在ABC中，已知向
7、量与满足()0，且，则ABC为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案(1)A(2)5解析(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的平分线因为()0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC，故BAC，所以ABC为等边三角形(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPy.则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0
8、，y)，(2，y)，(1，ay)，则3(5,3a4y)，即|3|225(3a4y)2，由点P是腰DC上的动点，知0ya.因此当ya时，|3|2的最小值为25.故|3|的最小值为5.题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_(2)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_.答案(1)2xy30(2)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为
9、y12(x2)，即2xy30.(2)0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k，即.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法(2016合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点
10、，若P为半径OC上的动点，则()的最小值为_答案解析圆心O是直径AB的中点，2，()2，与共线且方向相反，当大小相等时，乘积最小由条件知，当POPC时，最小值为2.题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用例3已知x，y满足若(x,1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_答案解析因为(x,1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图像可知，当目标函数z2xy过点C(1,1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.命题点2向量在解三角形中的应用例4
11、(2016合肥模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a15b12c0，则ABC最小角的正弦值等于()A. B.C. D.答案C解析20a15b12c0，20a()15b12c0，(20a15b)(12c20a)0，与不共线，ABC最小角为角A，cos A，sin A，故选C.命题点3向量在物理中的应用例5如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A2 B2C2 D6答案A解析如题图所示，由已知得F1F2F30，则F3(F1F2)，即FFF2F1F2FF2|F1|
12、F2|cos 6028.故|F3|2.思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化(1)函数ysin(x)在一个周期内的图像如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且0，则函数f(x)的最小正周期是_(2)已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点P(x，y)满足不等式01,01，则z的最大值为_答案(1)3(2)3解析(1)由图像可知，M，N，所以(xN，1)xN10，解得xN2，所以函数f(x)的最小正周期是23.(2)(x，y)，(1,1)，(0,1)，(2
13、,3)，xy，y，2x3y，即在条件下，求z2x3y的最大值，由线性规划知识得，当x0，y1时，zmax3.三审图形抓特点典例(2016太原一模)已知A，B，C，D是函数ysin(x)一个周期内的图像上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的射影为，则，的值为()A2， B2，C， D，解析由E为该函数图像的一个对称中心，作点C的对称点M，作MFx轴，垂足为F，如图B与D关于点E对称，在x轴上的射影为，知OF.又A，所以AF，所以2.同时函数ysin(x)图像可以看作是由ysin x的图像向左平移得到，故可知，即.
14、答案A1在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案C解析由()|2，得()0，即()0,20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形2(2016山东)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4 C. D答案B解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4，故选B.3(2016南宁模拟)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)且ab，则sin 2等于()A3 B3C. D答案
15、D解析由ab得cos 2sin 0，cos 2sin ，又sin2cos21，5sin21，sin2，cos2，sin 22sin cos cos2.4(2016武汉模拟)设ABC的三个内角为A，B，C，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，若mn1cos(AB)，则C等于()A. B.C. D.答案C解析依题意得sin Acos Bcos Asin B1cos(AB)，sin(AB)1cos(AB)，sin Ccos C1,2sin(C)1，sin(C).又C0，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.9已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x
16、3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是_答案解析设a与b的夹角为.f(x)x3|a|x2abx，f(x)x2|a|xab.函数f(x)在R上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|a|24ab0，ab，又|a|2|b|0，cos ，即cos ，又0，. 10.已知圆C：(x2)2y24，圆M：(x25cos )2(y5sin )21(R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是_答案6解析圆(x2)2y24的圆心C(2,0)，半径为2，圆M(x25cos )2(y5sin )21，圆心M(25cos ，5sin )，半径为
17、1，CM521，故两圆相离如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，则最小值是，HCCM1514，HFHE2，sinCHE，cosEHFcos 2CHE12sin2CHE，|cosEHF226.11已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，b0，y0，把a代入，得3y0，整理得yx2(x0)动点M的轨迹方程为yx2(x0)12已知角A，B，C是ABC的内角，
18、a，b，c分别是其所对边长，向量m(2sin ，cos2)，n(cos ，2)，mn.(1)求角A的大小；(2)若a2，cos B，求b的长解(1)已知mn，所以mn(2sin ，cos2)(cos ，2)sin A(cos A1)0，即sin Acos A1，即sin(A)，因为0A，所以A.所以A，所以A.(2)在ABC中，A，a2，cos B，sin B .由正弦定理知，所以ba. 13.已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且()()0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任意一条直径，求的最值解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由()()0，得|2|20，即(2x)2(y)2(8x)20，化简得1.动点P在椭圆上，其轨迹方程为1.(2)，且0.22(x)2(1y)2116(1)(y1)21y22y16(y3)219.2y2.当y3时，的最大值为19，当y2时，的最小值为124.综上，的最大值为19，最小值为124.
