1、 A组专项基础训练(时间：40分钟)1(2017辽宁沈阳一模)ABC的两个顶点为A(4，0)，B(4，0)，ABC的周长为18，则C点的轨迹方程为()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)【解析】 ABC的两顶点为A(4，0)，B(4，0)，周长为18，AB8，BCAC10.108，点C到两个定点A，B的距离之和等于定值，且满足椭圆的定义，点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a10，2c8，b3.椭圆的标准方程是1(y0)故选D.【答案】 D2(2017山西忻州模拟)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|F1F2|PF2|，设直线PF2与椭圆
2、交于M，N两点若|MN|16，则椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【解析】 因为点P(a，b)满足|F1F2|PF2|，所以2c.整理得2e2e10，解得e.所以a2c，bc，椭圆的方程为3x24y212c2.直线PF2的方程为y(xc)，将直线方程代入椭圆方程，整理得5x28cx0，解得x0或c，所以M(0，c)，N，因此|MN|c16，所以c5，所以椭圆的方程为1，故选B.【答案】 B3(2017江西南昌模拟)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且PF1F2的周长为14，则椭圆C的离心率e为()A. B.C. D.【解析】 焦距为4，c2.P为椭圆C上
3、一点，且PF1F2的周长为14，2a2c14，a5，椭圆C的离心率e.故选B.【答案】 B4(2017河南郑州一模)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为()A. B2C.2 D.【解析】 如图，设|F1F2|2c，|AF1|m.若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|m.由椭圆的定义，得ABF1的周长为4a，即4a2mm，m2(2)a.|AF2|2am2(1)a.在RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即4c24(2)2a24(1)2a2
4、，c23(1)2a2，e，故选D.【答案】 D5(2016长沙模拟)设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若PF1F2是直角三角形，则PF1F2的面积为()A3 B3或C. D6或3【解析】 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60，所以该点P不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时PF1F2的面积为2c.【答案】 C6(2017安徽黄山一模)已知圆(x2)2y21经过椭圆1(ab0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e_【解析】 圆(x2)2y21经过椭圆1(ab0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1，0)，一个顶点为A(3，0)，所以c1
5、，a3，因此椭圆的离心率为.【答案】 7(2017海南海口模拟)椭圆1(ab0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，F1PF260，PF1F2的面积为2，则椭圆的标准方程为_【解析】 由题意，得c，a2b2c23.F1PF260，PF1F2的面积为2，|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|8.又|PF1|PF2|2a，由余弦定理得4c212|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4a238，解得a29，故b26，因此椭圆的方程为1.【答案】 18(2016北京东城模拟)已知椭圆
6、C的中心在原点，一个焦点F(2，0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是_【解析】 设椭圆C的方程为1(ab0)由题意知解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.【答案】 19(2016天津)设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围【解析】 (1)设F(c，0)，由，即，可得a2c23c2，又a2c2b23，所以c21，因此a24，所以，椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(
7、k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x，由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得xM1，即1，解得k，或k.所以，直线l的斜率的取值范围为.10(2016吉林实验中学)如图，已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(1，0)，点H在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2)点M在圆x2y2b2上，且
8、M在第一象限，过M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：PF2Q的周长是定值【解析】 (1)设椭圆的左焦点为F1，根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(1，0)，F2(1，0)，c1，H在椭圆上，2a|HF1|HF2|6，a3，b2，故椭圆的方程是1.(2)证明 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1，|PF2| ，0x13，|PF2|3x1，在圆中，M是切点，|PM| x1，|PF2|PM|3x1x13，同理：|QF2|QM|3，|F2P|F2Q|PQ|336，因此PF2Q的周长是定值6.B组专项能力提升(时间：30分钟)11(2017江西新余模拟)椭圆C的两个焦点分别是F1，F
9、2，若C上的点P满足|PF1|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是()Ae BeC.e D0e或e1【解析】 椭圆C上的点P满足|PF1|F1F2|，|PF1|2c3c.由ac|PF1|ac，解得.【答案】 C12(2017重庆巴蜀中学模拟)已知F1，F2为椭圆C：1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，的最大值、最小值分别为()A9，7 B8，7C9，8 D17，8【解析】 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F1(1，0)，F2(1，0)，设E(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)，x21y2x218x2x27(3x3)，所以当x0时，有最小值7，当x3时，有最大值8，故选B.【答案】 B
10、13(2016江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_【解析】 由题意可得B，C，F(c，0)，则由BFC90，得c2a2b20，化简得ca，则离心率e.【答案】 14(2016浙江)如图，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围【解析】 (1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AP，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2.因此|AP|x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4
11、个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2.由(1)知，|AP|，|AQ|，故，所以(kk)0.由于k1k2，k1，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由e得，所求离心率的取值范围为0e.15(2016四川)已知椭圆E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭
12、圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值【解析】 (1)由已知得，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T坐标为(2，1)(2)由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标为，|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2)，由0，解得m.由得x1x2，x1x2.所以|PA| ，同理|PB|.所以|PA|PB|m2.故存在常数，使得|PT|2|PA|PB|.
