1、1“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图像一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xx|xR一元二次不等式ax2bxc0)的解集x|x1 x0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(0)(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则
2、方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图像开口向下，则不等式ax2bxc0的解集是()A(2,5) B(5，)C(，2) D(，2)(5，)答案D解析解方程x23x100得x12，x25，由于yx23x10的图像开口向上，所以x23x100的解集为(，2)(5，)2设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN等于()A(0,4 B0,4)C1,0) D(1,0答案B解析Mx|x23x40x|1x0，令3
3、x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为(，)(，)，即函数ylog2(3x22x2)的定义域是(，)(，)4(教材改编)若关于x的不等式ax2bx20的解集是(，)，则ab_.答案14解析x1，x2是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.5不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_答案(，44，)解析x2ax40的解集不是空集，x2ax40一定有解a24140，即a216，a4或a4.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参数的不等式例1求不等式2x2x30的解集解化2x2x30，解方程2x2x30，得x11，x2，不等式2x2x30的解集为(，1)(，)，即原不
4、等式的解集为(，1)(，)命题点2含参数的不等式例2解关于x的不等式：x2(a1)xa1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa，当a1时，x2(a1)xa0的解集为，当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1引申探究将原不等式改为ax2(a1)x10，求不等式的解集解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x)(x1)0.当a1时，1，(x)(x1)1时，1，解(x)(x1)0，得x1；当0a1，解(x)(x1)0，得1x.综上所述，当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x1时，解集为x|x1思维升华含有参数的不等式的
5、求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集解下列不等式：(1)0x2x24；(2)求不等式12x2axa2(aR)的解集解(1)原不等式等价于借助数轴，如图所示，所以原不等式的解集为x|2x1或2x3(2)12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(
6、3xa)0，得x1，x2.当a0时，解集为；当a0时，x20，解集为x|xR且x0；当a0时，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题例3(1)若一元二次不等式2kx2kx0，则a的取值范围是()A(0,4) B0,4)C(0，) D(，4)答案(1)D(2)B解析(1)2kx2kx0为一元二次不等式，k0，又2kx2kx0对一切实数x都成立，则必有解得3k0，则必有或a0，0a4.命题点2在给定区间上的恒成立问题例4设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)
7、m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增加的，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减少的，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是m|m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以，m的取值范围是.命题点3给定参数范围的恒成立问题例5对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx
8、24x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故当x的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案(，0)解析作出二次函数f(x)的草
9、图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.(2)已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图像全部在x轴下方当m0时，12x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知，不存在这样的m.题型三一元二次不等式的应用例6某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本
10、价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解(1)由题意得，y100100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130，解得x.所以x的取值范围是.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论
11、，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100(5x1)元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解(1)根据题意，得200(5x1)3 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10(2)设利润为y元，则y100(5x1)9104(5)91043
12、()2，故当x6时，ymax457 500元即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果14转化与化归思想在不等式中的应用典例(1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_思想方法指导函数的
13、值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题解析(1)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c，2c，即x0恒成立，即x22xa0恒成立即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上是减少的，g(x)maxg(1)3，故a3.实数a的取值范围是a|a3答案(1)9(2)a|a31不等式(x1)(2x)0的解集为()Ax|1x2 Bx|x1或x2Cx|1x2 Dx|x2答案A解析由(x1)(2x)0可知(x2)(x1)0，所以不等式的解集为x|1x22(2016潍坊
14、模拟)函数f(x)的定义域是()A(，1)(3，) B(1,3)C(，2)(2，) D(1,2)(2,3)答案D解析由题意得x24x30，即x24x30，1x3，又ln(x24x3)0，即x24x31，x24x40，x2.故函数定义域为(1,2)(2,3)3若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是()Aa|0a4 Ba|0a4Ca|0a4 Da|0a4答案D解析由题意知a0时，满足条件当a0时，由得0f(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，)D(，3)(1,3)答案A解析由题意得或解得3x3.5已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解
15、集为B，不等式x2axb0的解集为AB，那么ab等于()A3 B1C1 D3答案A解析由题意，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，则不等式x2axb0的解集为x|1x2由根与系数的关系可知，a1，b2，所以ab3，故选A.6若关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a等于()A. B.C. D.答案A解析由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集为(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.7已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()A(2,3) B(，2)(3，)C
16、. D.答案A解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0，即x25x60恒成立，则b的取值范围是()A1b2Cb2 D不能确定答案C解析由f(1x)f(1x)知f(x)图像的对称轴为直线x1，则有1，故a2.由f(x)的图像可知f(x)在1,1上是增加的x1,1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2，令b2b20，解得b2.9若不等式2x22axa1有唯一解，则a的值为_答案解析若不等式2x22axa1有唯一解，则x22axa1有两个相等的实根，所以4a24(a1)0，解得a.10设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f
17、(1)1，f(2)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)1.10(3a2)(a1)0，1a. 11.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x2)5的解集是_答案x|7x3解析令x0，x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，x0时，f(x)x24x，故有f(x)再求f(x)5的解，由得0x5；由得5x0，即f(x)5的解集为(5,5)由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)，故f(x2)5的解集为x|7x312设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集；(2)若a0，且0xmn0，即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当a0的解集为x|1x0，且0xmn，xm0.f(x)m0，即f(x)m. 13.(2016烟台模拟)已知不等式(ab)x(2a3b)，解不等式(a2b)x22(ab1)x(a2)0.解因为(ab)x(2a3b)0，所以(ab)x，所以ab0，且，解得a3b0等价为bx2(4b2)x(3b2)0，即x2(4)x(3)0，即(x1)(x3)0.因为31，所以不等式的解为3x1.即所求不等式的解集为x|3x1
