1、基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.函数f(x)2x36x218x7在1,4上的最小值为()A.64 B.61 C.56 D.51解析f(x)6x212x186(x22x3)6(x3)(x1),由f(x)0,得x3或x1;由f(x)0,得1x3,故函数f(x)在1,3上单调递减,在3,4上单调递增,f(x)minf(3)22769183761.答案B2.函数f(x)x33x23xa的极值点的个数是()A.2 B.1 C.0 D.由a确定解析f(x)3x26x33(x22x1)3(x1)20,函数f(x)在R上单调递增,故f(x)无极值点.答案C3.设函数f(x)ax2bxc(a,b
2、,cR).若x1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为yf(x)图象的是()解析因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex,且x1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(1)f(1)0;选项D中,f(1)0,f(1)0,不满足f(1)f(1)0.答案D4.(2015泰安模拟)函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值,则()A.b B.b1C.b0 D.0b1解析由f(x)x33bx3b,得f(x)3x23b.由已知可得f(x)3x23b在(0,1)上与x轴有交点,且满足即0b1.答案D5.(2016长沙模拟)已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大
3、值和极小值,则实数a的取值范围是()A.(1,2) B.(,3)(6,)C.(3,6) D.(,1)(2,)解析f(x)3x22ax(a6),由已知可得f(x)0有两个不相等的实根,4a243(a6)0,即a23a180.a6或a3.答案B二、填空题6.已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M,m,则Mm_.解析由题意,得f(x)3x212,令f(x)0,得x2,又f(3)17,f(2)24,f(2)8,f(3)1,所以M24,m8,Mm32.答案327.(2016广州模拟)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0,则ab_.解析由题意得f(x)3x26axb
4、,则解得或经检验当a1,b3时,函数f(x)在x1处无法取得极值,而a2,b9满足题意,故ab7.答案78.(2015荆州模拟)函数f(x)ax3bx2cxd在x0处有极大值1,在x2处有极小值0,则常数a,b,c,d分别为_.解析f(x)3ax22bxc,则即解得a,b,c0,d1.答案a,b,c0,d1三、解答题9.(2015柳州、北海、钦州三市联考)求函数f(x)x32ax23a2x1(0a1)的极大值.解f(x)x24ax3a2,且0a1.当f(x)0时,得ax3a;当f(x)0时,得xa或x3a;f(x)的单调递增区间为(a,3a);f(x)的单调递减区间为(,a)和(3a,).故当
5、x3a时,f(x)有极大值,其极大值为f(3a)1.10.(2016郑州质量预测)当a时,函数f(x)ax1ln x在区间(0,e)上的最大值为4,求a的值.解由题意f(x)a,令f(x)0,解得x.a,0e,由f(x)0,解得0x,由f(x)0,解得xe.从而f(x)的单调增区间为,减区间为.f(x)maxf11ln4,解得ae2.能力提升题组(建议用时:25分钟)11.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值,若m,n1,1,则f(m)f(n)的最小值是()A.13 B.15 C.10 D.15解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax,由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0,即
6、342a20,a3.由此可得f(x)x33x24,f(x)3x26x,易知f(x)在(1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,当m1,1时,f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下,且对称轴为x1,当n1,1时,f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.答案A12.(2016福州质量检测)若函数f(x)x2x1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.解析若函数f(x)在区间上无极值,则当x时,f(x)x2ax10恒成立或当x时,f(x)x2ax10恒成立.当x时,yx的值域是;当x时,f(x)x2ax10,即ax恒成立,a2;当
7、x,f(x)x2ax10,即ax恒成立,a.因此要使函数f(x)在上有极值点,实数 a的取值范围是,故选C.答案C13.(2015太原二模)已知f(x)a(x1)(xa)是函数f(x)的导函数,若f(x)在xa处取得极大值,则实数a的取值范围是_.解析f(1)f(a)0,当a1时,xa时,f(x)0,f(x)单调递减;ax1时,f(x)0,f(x)单调递增;x1时,f(x)0,f(x)单调递减,此时f(x)在xa处取得极小值,不符合题意.当1a0时,x1时,f(x)0,f(x)单调递减;1xa时,f(x)0,f(x)单调递增;xa时,f(x)0,f(x)单调递减,此时f(x)在xa处取得极大值
8、,符合题意.当a0时,x1时,f(x)0,f(x)单调递增;1xa时,f(x)0,f(x)单调递减;xa时,f(x)0,f(x)单调递增,此时f(x)在xa处取得极小值,不符合题意.实数a的取值范围是(1,0).答案(1,0)14.(2015成都诊断)已知aR,函数f(x)ln x1.(1)当a1时,求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)求f(x)在区间(0,e上的最小值.解(1)当a1时,f(x)ln x1,x(0,),所以f(x),x(0,).因此f(2),即曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为.又f(2)ln 2,所以曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程
9、为y(x2),即x4y4ln 240.(2)因为f(x)ln x1,所以f(x),x(0,).令f(x)0,得xa.若a0,则f(x)0,f(x)在区间(0,e上单调递增,此时函数f(x)无最小值.若0ae,当x(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,当x(a,e时,f(x)0,函数f(x)在区间(a,e上单调递增,所以当xa时,函数f(x)取得最小值ln a.若ae,则当x(0,e时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,e上单调递减,所以当xe时,函数f(x)取得最小值.综上可知,当a0时,函数f(x)在区间(0,e上无最小值;当0ae时,函数f(x)在区间(0,e上的最小值为ln a;当ae时,函数f(x)在区间(0,e上的最小值为.