1、考点突破练18利用导数求参数的值或范围1.(2022全国甲文20)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.2.(2022辽宁抚顺一模)已知函数f(x)=e2x+(1-2a)ex-ax.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=1时,若x0,都有2f(x)-f(x)-x2-(m+2)x,求实数m的取值范围.3.(2022四川泸州三模)已知函数f(x)=-x3+ax,aR.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)ex有且只有一个极值点,求实数a的取值
2、范围.4.已知函数f(x)=x2-ln x.(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)若ef(x)+ex-ax0,求实数a的取值范围.5.(2022北京东城二模)已知f(x)=x+aln x(aR).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当xe,+)时,曲线y=f(x)在x轴的上方,求实数a的取值范围.6.(2022山东济宁一模)已知函数f(x)=ax2-xln x+(aR,a0),曲线y=f(x).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若不等式f(x)0对任意x(0,+)恒成立,求实数a的取值范围.考点突破练18利
3、用导数求参数的值或范围1.解 (1)f(x)=3x2-1,f(-1)=2.当x1=-1时,f(-1)=0,故y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2x+2.又y=2x+2与y=g(x)相切,将直线y=2x+2代入g(x)=x2+a,得x2-2x+a-2=0.由=4-4(a-2)=0,得a=3.(2)f(x)=3x2-1,f(x1)=3-1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),整理可得y=(3-1)x-2.由g(x)=x2+a,得g(x)=2x.设曲线y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线为y-(+a)=2x2(x-x2),整理得
4、y=2x2x-+a.由题可得a=-2(9-8-6+1).令h(x1)=9-8-6+1,则h(x1)=36-24-12x1=12x1(x1-1)(3x1+1).当x1-或0x11时,h(x1)0,此时函数y=h(x1)单调递减;当-x11时,h(x1)0,此时函数y=h(x1)单调递增.则h(-)=,h(0)=1,h(1)=-4,h(x1)min=h(1)=-4,a=-1,即a的取值范围为-1,+).2.解 (1)由已知得函数f(x)的定义域为R,则f(x)=2e2x+(1-2a)ex-a=(2ex+1)(ex-a).由于2ex+10,从而当a0时,f(x)0恒成立,故函数f(x)在R上单调递增
5、.当a0时,由f(x)0,解得xln a;由f(x)0,解得x0时,f(x)在(ln a,+)上单调递增,在(-,ln a)上单调递减.(2)当a=1时,由(1)得2f(x)-f(x)=-ex-2x+1.当x0时,不等式2f(x)-f(x)-x2-(m+2)x可化为m0,所以h(x)0,因此h(x)在(0,+)上单调递增,所以h(x)h(0)=0,即ex-x-10,得g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以g(x)g(1)=e-2.因此me-2,得实数m的取值范围为(-,e-2.3.解 (1)由题意f(x)=-x2+a,当a0时,f(x)0恒成立,f(x)在(-,+)上单调
6、递减;当a0时,由f(x)=-x2+a0,得-x0,得x0.又x-1,h(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.当x=0时,h(x)取得极小值h(0)=0,画出h(x)的图象如图.由g(x)=0只有一个变号零点,a0,F(x)ex2-eln x+ex-2ex,令G(x)=ex2-eln x+ex-2ex,则G(x)=2ex-+ex-2e=2e(x-1)+,当x(0,1)时,G(x)0,所以G(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,G(x)G(1)=0,即F(x)G(x)0.综上可知,实数a的取值范围为(-,2e.(方法二)由条件得ex2-
7、eln x+ex-ax0,x0,所以a,记F(x)=,则F(x)=,当x(0,1)时,F(x)0,所以F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,F(x)min=F(1)=2e,则实数a的取值范围为(-,2e.5.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+).当a=1时,f(x)=x+ln x,f(x)=1-.所以f(1)=3,f(1)=0.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=3.(2)当a0时,由xe,+),得f(x)0,故曲线y=f(x)在x轴的上方.当a0时,f(x)=1-.令f(x)=0,得x=-2a或a(舍去).当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如
8、下.x(0,-2a)-2a(-2a,+)f(x)-0+f(x)极小值当-2ae,即-a0,即曲线y=f(x)在x轴的上方.当-2ae,即a0,解得a-,所以-a0),则g(x)=2a-.当a0时,f(1)=a+0与f(x)0恒成立矛盾,不合题意.当a0时,g(x)0,f(x)在(0,+)上单调递减.因为f(e-1)=2ae-10,所以x0(e2a-1,e-1),使得f(x0)=2ax0-ln x0-1=0,即a=.所以当x(0,x0)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(x0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减.所以f(x)max=a-x0ln x0+-x0ln x0+0.因为x0(e2a-1,e-1),所以ln x0+10.所以9-(ln x0)20,即-3ln x0-1,解得e-3x00,所以g(x)在e-3,e-1)上单调递增.所以g(e-3)g(x)g(e-1),即e-3g(x)0.所以ae-3,0).
