1、第六节抛物线(一)复习目标学法指导1.抛物线及其标准方程(1)抛物线的定义.(2)抛物线的标准方程.(3)抛物线的焦点、准线的概念.2.抛物线的简单几何性质(1)抛物线的简单几何性质.(2)有关抛物线的计算.3.直线与抛物线的关系.1.本节课的学习主要包括三个方面的问题:(1)抛物线的定义问题;(2)抛物线的方程问题;(3)抛物线的简单几何性质.2.掌握抛物线的性质,重点应抓住两点(一个顶点、一个焦点)、两线(一条对称轴和一条准线)、一率(离心率)、一方向(开口方向).3.直线与抛物线的关系问题,通常采用代数法与几何法研究.一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相
2、等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.概念理解(1)定义的实质可以归纳为“一动三定”:一个动点M;一个定点F(焦点);一条定直线l(准线);一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1).(2)定点F定直线l,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线,如到点F(1,0)和到直线l:x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程是x-y-1=0,其轨迹是一条直线.二、抛物线的标准方程及其简单几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)对
3、称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(,0) F(-,0) F(0,)F(0,-)离心率e=1e=1e=1e=1准线x=-x=y=-y=1.方程及其性质的理解(1)p的几何意义:表示定点F到定直线l的距离,即焦点到准线的距离,p值的大小(p0),决定抛物线开口的大小,p前面的符号决定抛物线开口的方向.(2)抛物线标准方程的特征与其他坐标系中位置之间关系:抛物线的标准方程只含有两项,分别是二次项和一次项,并位于等号两边.抛物线标准方程中一次项中变量的名称与抛物线对称轴名称相同,一次项系数的正负与对称轴所在坐标轴方向正负一致,简单记为“一次定轴,系数定向”.如x2=-3y,因一次项是-3y,所以对称轴是y轴
4、,因-30)或x2=-2my(m0),将A点代入得2p=1或2m=8,所求抛物线方程为y2=x或x2=-8y.2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是(D)(A)y2=2x(B)y2=2x(C)y2=4x(D)y2=4x解析:由已知可知双曲线的焦点为(-,0),(,0).设抛物线方程为y2=2px(p0),则=,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x.故选D.3.已知点A是抛物线C:x2=2py(p0)上一点,O为坐标原点.若A,B是以点M(0,10)为圆心,OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点,且ABO为等边三角形,则p的值是(C)(A)(B)
5、(C)(D)解析: 如图,因为|MA|=|OA|,所以点A在线段OM的垂直平分线上.又因为M(0,10),所以可设A(x,5).由tan 30=,得x=.将A(,5)代入方程x2=2py,得p=.4.若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则抛物线的标准方程是.解析:由x=0得y=-2,由y=0得x=4,即(0,-2)或(4,0)为抛物线的焦点.所以抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.答案:y2=16x或x2=-8y5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=.解析:由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A
6、到准线x=-1的距离为3,所以点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标y=2,所以A(2,2),所以直线AF的方程为y=2 (x-1).由解得或由图知,点B的坐标为(,),所以|BF|=-(-1)=.答案:考点一抛物线的定义及应用【例1】 设P是抛物线y2=4x上的一个动点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解:(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1.由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是,问题转化为:在曲线上求一点P,
7、使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF交抛物线于点P,则所求的最小值为|AF|,即为.解:(2)如图,过点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为4. (1)由抛物线定义,实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+或|PF|=|y|+.1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点Al,线段AF交抛物线C于点B,若=3,则|等于(B)(A)3(B)4(C)6
8、(D)7解析: 由已知B为AF的三等分点,作BHl于H,如图,则|BH|=|FK|=,所以|=|=,所以|=3|=4,故选B.2.已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|4时,|PA|+|PM|的最小值是.解析:将x=4代入抛物线的方程y2=4x,得y=4.又|a|4,所以A在抛物线的外部.由题意知F(1,0),设抛物线上点P到准线l:x=-1的距离为|PN|,由定义知,|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1.画出简图(图略),易知当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,此时|PA|+|PM|也最小
9、,最小值为|AF|-1=-1.答案:-1考点二抛物线的标准方程【例2】 (1)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则该抛物线的方程为()(A)y2=4x(B)y2=8x(C)y2=4x(D)y2=8x(2)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则抛物线的方程为;(3)已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的方程为.解析:(1)抛物线y2=ax(a0)的焦点F的坐标为(,
10、0),则直线l的方程为y=2(x-),它与y轴的交点为A(0,-),所以OAF的面积为=4,解得a=8,所以抛物线的方程为y2=8x.故选B. (2)设满足题意的圆的圆心为M(xM,yM).根据题意可知圆心M在抛物线上.又因为圆的面积为36,所以圆的半径为6,则|MF|=xM+=6,即xM=6-,又由题意可知xM=,所以=6-,解得p=8.所以抛物线方程为y2=16x.解析:(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有=2px1,=2px2,两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),又因为直线的斜率为1,所以=1,所以有y1+y2=2p,又线段AB的中点的纵坐标为2,即y
11、1+y2=4,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.答案:(1)B(2)y2=16x(3)y2=4x 求抛物线方程的基本方法(1)定义法:根据抛物线的定义得到p的值、焦点位置,然后根据抛物线方程的标准形式写出其方程.(2)待定系数法:焦点在x轴上的抛物线方程可以用y2=x(0)表示,焦点在y轴上的抛物线方程可以用x2=y(0)表示,根据已知得到关于的方程,求出.用“一次定轴,系数定向”确定抛物线的方程,然后用待定系数法求p的值.在解决涉及焦点、顶点、准线等问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点.焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为(C)(A)x2=16y或y2=16x
12、(B)y2=16x或x2=12y(C)y2=16x或x2=-12y(D)x2=16y或y2=-12x解析:因为抛物线的焦点在坐标轴上,又在直线3x-4y-12=0上,所以令x=0得y=-3,令y=0,得x=4,所以焦点为(0,-3)或(4,0),所以抛物线方程为x2=-12y或y2=16x.考点三抛物线的焦点弦问题【例3】 已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点弦有关的问题,常用到x1x2=,y1y2=-p2,|AB|=x1+x2+p= (为直线AB的倾斜角),+=这些结论,就会带来意想不到的效果.1. 已知抛物线y2
13、=4x,圆F:(x-1)2+y2=1,过点F作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D(如图所示),则|AB|CD|的值正确的是(A)(A)等于1(B)最小值是1(C)等于4(D)最大值是4解析:设直线l:x=ty+1,代入抛物线方程,得y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),D(x2,y2),根据抛物线定义|AF|=x1+1,|DF|=x2+1,故|AB|=x1,|CD|=x2,所以|AB|CD|=x1x2=,而y1y2=-4,代入上式,得|AB|CD|=1.故选A.2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直
14、线AB的倾斜角的正弦值为.解析:由题意知F(1,0),当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k0),由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x10,x20,则x1+x2=,x1x2=1,+=+=1.当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2,故+=1.设|AF|=a,|BF|=b,则+=1,所以|AF|+4|BF|=a+4b=(+)(a+4b)=5+9,当且仅当a=2b时取等号,故a+4b的最小值为9,此时直线的斜率存在,且x1+1=2(x2+1),联立得,x1=2,x2=,k=2,故直线AB的倾斜角的正弦值为.答案:考点四易错
15、辨析【例4】 设抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线方程.解:当m0时,准线方程为x=-,因为准线与直线x=1的距离为3,所以准线方程为x=-2即-=-2,m=8,所以抛物线方程为y2=8x.当m0的情况,忽视m0)中p几何意义的误解.抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意可知即所以A(,),又因为点A在抛物线y2=2px上,所以=2p,即p4=16,又因为p0,所以p=2,故选B.抛物线的综
16、合应用【例题】 已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.解:(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4
17、m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E(+2m2+3,-),|MN|=|y3-y4|=,由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+(2m+)2+(+2)2=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方
18、程为x-y-1=0或x+y-1=0.规范要求:利用待定系数法求抛物线的标准方程时,既要定位(确定抛物线开口方向),又要定量(确定参数p的值).(1)中,需要计算p值. (2)中,A,M,B,N四点共圆,等价于|AE|=|BE|=|MN|.温馨提示: (1)问解答中,需要注意p0的条件,即应舍去p=-2.(2)问解答中,要注意分析直线的斜率不存在的情形.【规范训练】 (2017浙江卷) 如图,已知抛物线x2=y,点A(-,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(-x),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.解:(1)设直线AP的斜率为k
19、,k=x-,因为-x0),其准线方程为x=-.由抛物线的定义,M到准线x=-的距离为3,即2+=3,故p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x.因为M(2,y0)在抛物线上,所以=8.由两点间的距离公式知|OM|=2.故选B.3.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P的轨迹方程为(C)(A)y2=8x(B)y2=-8x(C)x2=8y(D)x2=-8y解析:由题意,P到F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,故P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,所以P的轨迹方程为x2=8y.4.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标
20、之和等于2,则这样的直线(B)(A)有且只有一条(B)有且只有两条(C)有且只有三条(D)有且只有四条解析:设该抛物线焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|=xA+xB+=xA+xB+1=32p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.故选B.5. 如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是(A)(A)(B)(C)(D)解析: 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A作AA1y轴于点A1,过B作BB1y轴于点B1,则=.类型二抛物线的标准方程6.若
21、抛物线y2=2px(p0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为(C)(A)y2=4x(B)y2=6x(C)y2=8x(D)y2=10x解析:因抛物线y2=2px(p0),其准线方程为x=-,点P(2,y0)到准线的距离为4,所以-2=4,得p=4.故抛物线的标准方程为y2=8x.7.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为(C)(A)y2=4x或y2=8x(B)y2=2x或y2=8x(C)y2=4x或y2=16x(D)y2=2x或y2=16x解析:由已知得抛物线的焦点F(,0),设点A(0
22、,2),M(x0,y0),则=(,-2),=(,y0-2).由已知得,=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,M(,4).由|MF|=5得,+=5,又p0,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.类型三抛物线的焦点弦问题8.过抛物线y2=2px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=2,|PQ|=4,则抛物线的方程是(A)(A)y2=4x(B)y2=8x(C)y2=2x(D)y2=6x解析:由抛物线定义知|PQ|=x1+x2+p=4,又x1+x2=2,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x.故选A.9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若|AB|=6,则AOB的面积为(A)(A)(B)2(C)2(D)4解析:因为抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),当直线AB垂直于x轴时,|AB|=4,不满足题意,所以设直线AB的方程为y=k(x-1),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-4k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-4,所以|y1-y2|=,因为|AB|=|y1-y2|=6,所以4(1+)=6,解得k=,所以|y1-y2|=2,所以AOB的面积为12=,故选A.