1、第三节 函数的奇偶性、周期性 学习要求:1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.1.函数的奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果xI,都有-xI,且 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数 关于 y 轴 对称 奇函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果xI,都有-xI,且 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数 关于 原点 对称 提醒 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.2.周期性(1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义
2、域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x)成立,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.知识拓展 1.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.2.函数周期性的常用结论 对 f(x)定义域内任意一自变量 x,(1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a(
3、a0);(2)若 f(x+a)=1(),则 T=2a(a0);(3)若 f(x+a)=-1(),则 T=2a(a0).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(-x)+f(x)=0.()(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(4)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教 A 版必修第一册 P84 例 6 改编)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin x B.y=
4、x2cos x C.y=|ln x|D.y=2-x 答案 B 3.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足对任意的 x1,x2(-,0(x1x2),都有(2)-(1)2-10,则()A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(-2)答案 B 4.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在a-1,2a上的偶函数,那么 a+b 的值是()A.-13 B.13 C.12 D.12 答案 B 5.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x-1,1)时,f(x)=-42+2,-1 0,0 1,则(32)=.答案 1 函数的奇偶性
5、 角度一 函数奇偶性的判断 典例 1 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=3-2+2-3;(2)f(x)=lg(1-2)|-2|-2;(3)f(x)=2+,0.解析(1)由3-2 0,2-3 0,得 x2=3,解得 x=3,即函数 f(x)的定义域为-3,3,关于原点对称,f(x)=3-2+2-3=0.f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x),函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由1-2 0,|-2|2得函数的定义域为(-1,0)(0,1),关于原点对称.x-20,|x-2|-2=-x,f(x)=lg(1-2)-.f(-x)=lg1-(-)2=lg(1-2)=-f(x),函数 f
6、(x)为奇函数.(3)显然函数 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称.当 x0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当 x0 时,-x0 的解集是()A.(0,1)B.(-1,0)(0,1)C.(-,-1)(0,1)D.(-1,0)(1,+)答案 A 当 x0,f(x)=-f(-x)=-x-(-x)2=x+x2,则 f(x)=-2,0,+2,0+1 0,-2 0,0或 +1 0,+2 0,0或-1 0,解得0 xf(x-2)的解集为()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(1,+)D.(0,1)(2)(2020 安徽马鞍山三模)已知函数 f(x+
7、2)是定义域为 R 的偶函数,若 f(x)在(2,+)上单调递减,则不等式 f(ln x)-f(1)f(x-2),得 f(|2x-1|)f(|x-2|),函数 y=f(x)在0,+)上单调递增,|2x-1|x-2|,即(2x-1)2(x-2)2,化简得 x2-10,解得 x1,故不等式 f(2x-1)f(x-2)的解集为(-,-1)(1,+).故选 B.(2)因为 f(x+2)的图象是由 f(x)的图象向左平移 2 个单位长度得到的,且 f(x+2)的图象关于 y 轴对称,所以 f(x)的图象关于直线 x=2 对称.由 f(x)在(2,+)上单调递减可得 f(x)在(-,2)上单调递增,由 f
8、(ln x)-f(1)0 得 f(ln x)|2-1|=1,所以 ln x3,解得 0 xe3.故选 C.角度二 奇偶性、周期性的综合应用 典例 6(多选题)(2020 山东威海高三模拟)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是偶函数,则()A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+4)答案 CD 因为 f(x+1)是偶函数,所以 f(-x+1)=f(x+1),从而 f(-x)=f(x+2).因为 f(x-1)是偶函数,所以 f(-x-1)=f(x-1),从而 f(-x)=f(x-2).所以 f(x+2)=f(x-2)
9、,f(x+4)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数.因为 f(-x-1)=f(x-1),所以 f(-x-1+4)=f(x-1+4),即 f(-x+3)=f(x+3),所以 f(x+3)是偶函数.名师点评 函数性质综合应用的注意点(1)函数单调性与奇偶性综合:注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性综合:此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性综合:解决此类问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.1.(2020 重
10、庆模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(34+)=(34-),且当 x(0,34)时,f(x)=log2(x+1)+m,若 f(100)=log23,则实数 m 的值为()A.2 B.1 C.0 D.-1 答案 B 由 f(x)为奇函数知 f(34-)=(-34),f(+34)=(-34),即 f(+32)=-f(x),f(x+3)=-f(+32)=f(x),f(x)是周期为 3 的函数,故 f(100)=f(1)=f(12)=log232+m=log23,m=1.2.已知函数 f(x)=21-,1,2-1,1,若 f(2x-2)f(x2-x+2),则实数 x 的取值范围是()A.-
11、2,-1 B.1,+)C.R D.(-,-21,+)答案 D 函数 f(x)=21-,1,2-1,1 恒成立,|2x-2-1|x2-x+2-1,即|2x-3|x2-x+1,当 x32时,不等式化为 2x-3x2-x+1,即 x2-3x+40,不等式恒成立,所以 x32;当 x32时,不等式化为 3-2xx2-x+1,即 x2+x-20,解得 x-2 或 x1,即 x-2 或 1x2 的解集为()A.(2k+1,2k+3),kZ B.(2k-1,2k+1),kZ C.(4k+1,4k+3),kZ D.(4k-1,4k+1),kZ 答案 C 因为 f(x+4)=f(4-x-4)=f(-x)=f(x
12、),所以 f(x)的周期为 4,当 x0,2时,f(x)2 的解集为(1,2,易知 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以当 x0,4时,f(x)2 的解集为(1,3),所以当 xR 时,f(x)2 的解集为(4k+1,4k+3),kZ.7.若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0 x0 时,f(x)=3-2x.(1)求 f(0)的值;(2)求 f(x)的解析式;(3)若对任意的 tR,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)0 恒成立,求实数 k 的取值范围.解析(1)因为定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0.(2)因为当 x0,所以 f(-
13、x)=-3-2-x.又因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以f(x)=3+2-x.综上,f(x)=3-2,0,0,=0,3+2-,0.(3)由 f(t2-2t)+f(2t2-k)0 得 f(t2-2t)-f(2t2-k).因为 f(x)是奇函数,所以 f(t2-2t)k-2t2,即 3t2-2t-k0 对任意 tR 恒成立.令 3t2-2t-k=0,则=4+12k0,解得 k 0,|2-1|0 12,xR,函数 f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)是奇函数,排除 A、C
14、;当 x(-12,12)时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则 f(x)=22+1-21-2=41-420,f(x)在(-12,12)单调递增,排除 B;当 x(-,-12)时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则 f(x)=-2-2-1-21-2=41-420 D.g(-x+1)+g(x+1)0 答案 AC 因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,因为 g(x)=f(x-1),所以 g(1)=f(0)=0,故 A 中结论正确;因为 f(x)为定义在 R 上的减函数,且 f(2)=-1,f(2)f(1)f(0),即-1f(1)0,所以-1g(2)
15、f(x+1),所以 f(x-1)-f(x+1)0,即 g(-x)+g(x)0,故 C 中结论正确;因为 g(x)=f(x-1),所以 g(-x+1)=f(-x)=-f(x),g(x+1)=f(x),所以 g(-x+1)+g(x+1)=-f(x)+f(x)=0,故 D 中结论错误.12.(多选题)(2020 山东淄博高三一模)已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,对于任意 xR,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当 x0,2)时,f(x)=2x-1,给出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=0 B.点(4,0)是函数 y=f(x)的图象的一个对称中心 C.函数 y=f(x)在-6,
16、-2上单调递增 D.函数 y=f(x)在-6,6上有 3 个零点 答案 AB 在 f(x+4)=f(x)+f(2)中,令 x=-2,得 f(-2)=0,又函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,所以f(2)=-f(-2)=0,所以 f(x+4)=f(x),故 y=f(x)是一个周期为 4 的奇函数,因为(0,0)是 f(x)的图象的对称中心,所以(4,0)也是函数 y=f(x)的图象的一个对称中心,故 A、B 正确;作出函数y=f(x)的部分图象如图所示,易知函数 y=f(x)在-6,-2上不具有单调性,故 C 不正确;因为f(2)=-f(-2)=0,且 f(x)的周期为 4,所以 f(-6)=
17、f(-2)=f(2)=f(6)=0,f(4)=f(0)=f(-4)=0,即函数 y=f(x)在-6,6上有 7 个零点,故 D 不正确.故选 AB.13.已知函数 y=f(x)满足 f(32-)=f(x),当 x34 时,f(x)=sin x,则函数 f(x)-12 在区间(0,32)内的解集为 .答案(3,76)解析 由 f(32-)=(),可得()的图象关于直线=34 对称,当 34 时,由 sin 12,得34 76,根据对称性,当 0 12,得3 34,故解集为(3,76).C 组 思维拓展 14.(多选题)(2020 山东淄博高三二模)华为 5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘
18、法,如:(c1 c2)=(a1 a2)(11 1221 22),其中 c1=a1b11+a2b21,c2=a1b12+a2b22.已知定义在 R 上不恒为 0 的函数 f(x),对任意 a,bR,都有(y1 y2)=(f(a)f(b)(-1 +1-1 1),且满足 f(ab)=y1+y2,则()A.f(0)=0 B.f(-1)=1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)是奇函数 答案 AD(y1 y2)=(f(a)f(b)(-1 +1-1 1),y1=-f(a)+f(b)(a-1),y2=f(a)(b+1)+f(b),又 f(ab)=y1+y2,f(ab)=-f(a)+f(b)(a-1)+f(a)
19、(b+1)+f(b)=bf(a)+af(b),令 a=b=0,则 f(0)=0,令 a=b=1,则 f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0,令 a=b=-1,则 f(1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,令 a=x,b=-1,则 f(-x)=-f(x)+xf(-1),f(x)+f(-x)=0,f(x)为奇函数,故选 AD.15.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(-3-x)=f(3-x),当-3x-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1x0 时,f(x)=2x+1,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2 020)=.答案-338 解析 函数 f(x)满足 f(
20、-3-x)=f(3-x),即 f(-3-x)=f6+(-3-x),则函数 f(x)是周期为 6 的函数,当-3x-1 时,f(x)=-(x+2)2,则 f(-3)=-1,f(-2)=0,f(-1)=-1,当-1x0 时,f(x)=2x+1,则 f(0)=2,因为函数 f(x)为偶函数,所以 f(1)=f(-1)=-1,f(2)=f(-2)=0,f(3)=f(-3)=-1,又函数 f(x)是周期为 6 的周期函数,则 f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 020)=336f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=336-1+0+(-1)+0+(-1)+2+(-1)+0+(-1)+0=-338.
