1、5 简单的幂函数 基础认知自主学习 1幂函数(1)定义：如果一个函数，底数是_，指数是_，即yx，这样的函数称为幂函数(2)五种常见幂函数图像比较：自变量x常量(3)幂函数的性质：所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图像都过点(1，1)；如果0，则幂函数的图像过原点，并且在区间0，)上是增加的；如果0，即 m12，所以 m2.3(教材练习改编)若 f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则 g(x)ax3bx2cx 是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数【解析】选 A.因为 f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，所以 f(x)f(x)，得 b0，所以 g(x)ax3cx，所
2、以 g(x)a(x)3c(x)g(x)，又定义域为 R，所以 g(x)为奇函数能力形成合作探究类型一 幂函数的图像与性质(数学抽象、直观想象)【典例】函数 f(x)(m2m1)xm2m2 是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是减少的(1)求 f(x)的解析式(2)用描点法作出 f(x)的图像(3)给出 yf(x)的单调区间及其值域，并判断其奇偶性【思路导引】1.利用幂函数的定义，得到 m2m11，求得 m2 或 m1，之后再结合函数在 x(0，)上递减，将 m2 排除，从而求得结果2先求出函数解析式，画出图像，根据图像进行解答【解析】(1)因为 f(x)(m2m1)x2mm2 为幂函数，且在
3、(0，)上为减少的，所以 m2m11 且 m2m20，所以 m1，即 f(x)x2(x0).(2)列表x 4211214 01412124y 116141416不存在164114116作图如图所示(3)由(2)可知，f(x)的单调区间为(，0)及(0，).其中 f(x)在区间(，0)上是增加的，在区间(0，)上是减少的，且 f(x)的值域为(0，).因为 f(x)f(x)，且定义域关于原点对称，所以 f(x)是偶函数求幂函数解析式的方法(1)待定系数法：借助幂函数的定义，设幂函数或所要求函数中相应量(2)定指数：结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征(3)定系数：如函数 f(x)kx 是幂函
4、数，求 f(x)的解析式，由定义知必有 k1，即 f(x)x.函数 f(x)(m2m5)xm1 是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是增加的，则 m的值为_【解析】根据幂函数的定义得 m2m51，解得 m3 或 m2.当 m3 时，f(x)x2 在(0，)上是增加的；当 m2 时，f(x)x3 在(0，)上是减少的，不符合题意故 m3.答案：3类型二 函数的奇偶性及其应用(逻辑推理、数学运算)角度 1 函数奇偶性的判定【典例】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)13 x5.(2)f(x)3 x2.(3)f(x)x24 4x2.(4)f(x)x22x3，x0，x22x3，x0为奇函数，则 ab_
5、【思路导引】(1)由偶函数可得定义域关于原点对称，即 a12a0，求出 a 的值，然后利用 f(x)f(x)，求出 b.(2)可利用奇函数定义，由对应系数相等求解，也可采用赋值法求出 ab 的值【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a12a，解得 a13，则 f(x)13 x2bxb1，由 f(x)是偶函数，且其图像的对称轴为直线 x3b2，可知3b2 0，所以 b0.(2)方法一：由奇函数的定义得 f(x)f(x)0，当 x0，所以 f(x)ax2bx，所以 ax2bxx2x0，即 ax2bxx2x，故 a1，b1.经检验知，f(x)为奇函数，故 ab0.方法二：因为 f(x)
6、为奇函数，f(1)ab，f(1)0，所以 f(1)f(1)0，即 ab0.答案：(1)13 0(2)0判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断 f(x)是否等于 f(x)或f(x)，或判断 f(x)f(x)是否等于零，或判断f（x）f（x）是否等于1 等(2)图像法根据函数图像的对称情况进行判断，即奇(偶)函数的等价条件是它的图像关于原点(y 轴)对称(3)性质法设非零函数 f(x)，g(x)的定义域分别是 F，G，若 FG，则奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如表所示：f(x)g
7、(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数1下面四个结论：偶函数的图象一定与 y 轴相交；奇函数的图象一定经过原点；偶函数的图象关于 y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)0(xR)，其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】选 A.偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定相交，因此正确，错误；奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确；若 yf(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得 f(x)0，但不一
8、定 xR，只要定义域关于原点对称即可，故错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区别在定义域2设函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)12x2xb(其中 b为实数)，则 f(1)的值为_【解析】因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)12x2xb，则 f(0)1b0，解得 b1，则 f(x)12x2x1，所以 f(1)1，因此f(1)1.答案：13已知函数 f(x)axx21，aR.(1)判断 f(x)的奇偶性，说明理由(2)判断 f(x)在(1，1)上的单调性，说明理由【解析】(1)函数 f(x)axx21，aR
9、 的定义域为xR|x1当 a0 时，f(x)0，满足 f(x)f(x)f(x)，所以 f(x)既是奇函数又是偶函数；当 a0 时，f(x)axx21 f(x)，所以 f(x)是奇函数(2)当 a0 时 f(x)0 在(1，1)上是常数函数，不具有单调性；当 a0 时 f(x)axx21 在(1，1)上是减少的；当 a0 时 f(x)axx21 在(1，1)上是减少的设 x1，x20，1)，且 x10，0 x1x20，x1x210，(x22 1)(x21 1)0，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以当 a0 时 f(x)axx21 在0，1)上是减少的又 f(x)axx2
10、1 在(1，1)上是奇函数，所以函数图像关于原点对称，所以 f(x)axx21 在(1，0)上也是减少的所以 f(x)axx21 在(1，1)上是减少的同理可证：当 a0，故排除选项 B；对于选项 A，定义域为0，)，故不是偶函数；对于选项 D，(x)13 x13，是奇函数；对于选项 C，(x)4x4，是偶函数2.如图是函数 yf(x)在6，6的图像，则此函数的奇偶性为()A偶函数B奇函数C奇函数且偶函数D非奇非偶函数【解析】选 A.由于函数 yf(x)的图像关于 y 轴对称，所以 f(x)为偶函数3(教材练习改编)下列函数不具有奇偶性的是()Ayx By1xCyx1x1Dyx22【解析】选
11、C.函数具有奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，而选项C 中函数的定义域为x|x1，不关于原点对称4已知函数 f(x)为 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x21x，则 f(1)_【解析】当 x0 时，f(x)x21x，所以 f(1)112.又 f(x)为奇函数，所以f(1)2.答案：25已知函数 f(x)(m2m1)x5m3，m 为何值时，f(x)：(1)是幂函数(2)是正比例函数(3)是反比例函数(4)是二次函数【解析】(1)因为 f(x)是幂函数，故 m2m11，即 m2m20，解得 m2 或 m1.(2)若 f(x)是正比例函数，则5m31，解得 m45.此时 m2m10，故 m45.(3)若 f(x)是反比例函数，则5m31，则 m25，此时 m2m10，故 m25.(4)若 f(x)是二次函数，则5m32，即 m1，此时 m2m10，故 m1.
