1、高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形高考大题专项练第4页1.在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解:(1)在ABC中,cosB=-17,B2,sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得asinA=bsinB,即7sinA=8437,sinA=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32-17+12437=3314.如图所示,在ABC中,过点B作BDAC于点D.sinC=hBC,h=BCsinC=73314=332,AC边上的高为332.2.ABC的内角A,B,C的对边
2、分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解:(1)由已知可得tanA=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(
3、2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.(1)证明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由S=a24,得12absinC=a24,故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB.由sinB0,得sinC=cosB.又B,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.4.(2019
4、全国,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解:(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sinC
5、=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+24.5.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解:(1)由已知及正弦定理,得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,即2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.可得cosC=12,所以C=3.(2)由已知,12absinC=332.又C=3,所以ab=6.由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而
6、(a+b)2=25,即a+b=5.所以ABC的周长为5+7.6.在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解:(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.7.(2019河北沧州高三模拟)已知ABC的内角A,B
7、,C的对边分别为a,b,c,sinA-sinCb+c=sinB-sinCa.(1)求B;(2)若b=3,求2a-c的取值范围.解:(1)由题意及正弦定理,得a-cb+c=b-ca,即a2-ac=b2-c2.所以a2+c2-b2=ac.由余弦定理,得cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,所以B=3.(2)由正弦定理,得asinA=csinC=bsinB=23,所以a=23sinA,c=23sinC,所以2a-c=43sinA-23sinC=23(2sinA-sinC).又A+B+C=,所以C=23-A,A0,23,所以2a-c=232sinA-sin23-A=2332sinA-32
8、cosA=6sinA-6.又A0,23,所以A-6-6,2,所以-36sinA-66,所以2a-c的取值范围为(-3,6).8.(2019天津,理15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解:(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sinB=1-cos2B=154,从而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin2Bcos6+cos2Bsin6=-15832-7812=-35+716.
