1、第五节 指数与指数函数 学习要求:1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.1.指数幂的概念(1)根式的概念:根式的概念 符号表示 备注 如果 xn=a(aR,n1,nN*),那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n1 且 nN*当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个 正数,负数的 n次方根是一个 负数 0 的 n 次方根是 0 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有 两个,它们互为 相反数 负数没有偶次方根(2)两个重要公式:
2、ann=a,n 为奇数,|a|=a(a 0),-a(a 0,m,nN*,n1);(ii)正数的负分数指数幂:-=1=1(a0,m,nN*,n1);(iii)0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的运算性质:(i)aras=ar+s(a0,r,sQ);(ii)(ar)s=ars(a0,r,sQ);(iii)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).3.指数函数的图象与性质 a1 0a0 时,y1;当 x0 时,0y1;当 x0 时,0y1 当 x1 在(-,+)上是 单调增函数 在(-,+)上是 单调减函数 知识拓展 指数函数的图象与底数大小的关系.下图是指数函数
3、(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系为 cd1ab0.由此我们可以得到以下规律:在第一象限内,指数函数 y=ax(a0,且 a1)的图象越高,底数越大.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)与()n都等于 a(nN*).()(2)函数 y=23x与 y=2x+1都不是指数函数.()(3)若 am0,且 a1),则 mn.()(4)当 a0,且 a1)的图象必经过点()A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2,2)答案 D 令 x-2=0 得 x=2,则 f(2)=a0+1=2,所以 f(x)的图
4、象必过点(2,2).3.某种产品的年产量原来是 a 件,在今后 m 年内,计划使每年的产量比上一年增加 p%,则该产品的年产量 y 随年数 x 变化的函数解析式为()A.y=a(1+p%)x(0 xm,xN)B.y=a(1+p%)x(0 xm,xN)C.y=a(1+xp%)(0 xm,xN)D.y=a(1+xp%)(0 xm,xN)答案 B 设年产量经过 x 年增加到 y 件,则第一年为 y=a(1+p%),第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年为 y=a(1+p%)(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)3,则 y=a(1+p%)x(0 xm 且 xN).4.23,
5、45,88三个数从小到大的排列顺序是 .答案 238845 解析 23=213,45=225,88=238,所以23880 时,f(x)0 时,(a-1)x1 恒成立,所以 0a-11,所以 1a0)的值是()A.1 B.a C.15 D.1710(2)3-22+(1-2)33+(1-2)44+5-26=.答案(1)D(2)3-1 角度二 化简求值 典例 2 化简下列各式:(1)(235)0+2-2(214)-12-(0.01)0.5;(2)56 13b-2(-3-12b-1)(423b-3)12.解析(1)原式=1+14(49)12-(1100)12=1+1423-110=1+16-110=
6、1615.(2)原式=-52-16b-3(423b-3)12=-54-16b-3(13-32)=-54-12-32=-5413=-542.规律总结 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数,形式力求统一.1.(23-1)-12-121356=.答案 1 解析 原式=-1312-1
7、2131656=-13-12-1612+13-56=1.2.(32)-13(-76)0+81424-(-23)23=.答案 2 解析 原式=(23)131+234214-(23)13=2.指数函数的图象及应用 典例 3(1)函数 f(x)=-3|x|+1 的大致图象是()(2)若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是 .答案(1)A(2)-1,1 解析(1)因为函数 f(x)=-3|x|+1,所以 f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x),即函数 f(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称,故排除 B,D.当 x=0 时,f(0)=-30+1=0,即
8、函数 f(x)的图象过原点,故排除 C.故选 A.(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线 y=b 没有公共点,只需-1b1.变式探究 本典例(2)中若曲线 y=|2x-1|与直线 y=b 有两个公共点,求 b 的取值范围.解析 作出曲线 y=|2x-1|与直线 y=b 如图所示.由该图得 b 的取值范围是(0,1).方法技巧 应用指数函数图象的 4 个技巧(1)画指数函数 y=ax(a0,a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,1).(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足,则排除.(3)对于有关指数型函数的图
9、象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数 a 与 1 的大小关系不确定时,应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.1.函数 y=ax-1(a0,且 a1)的图象可能是()答案 D a0,10,函数 y=ax需向下平移1个单位长度,不过(0,1)点,所以排除 A,当 a1 时,011,所以排除 B,当 0a1,所以排除 C,故选 D.2.已知函数 f(x)=ax-2+7(a0,且 a1)的图象恒过定点 P,若定点 P 在幂函数 g(x)的图象上,则幂函数 g(x)的图象是()答案 D 由题意知 f(
10、2)=a2-2+7=8,所以定点 P 的坐标为(2,8),设幂函数 g(x)=x,将 P(2,8)代入得 2=8,故=3,即 g(x)=x3,故选 D.3.若关于 x 的方程|ax-1|=2a(a0,且 a1)有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是 .答案(0,12)解析 方程|ax-1|=2a(a0,a1)有两个不相等的实数根等价于函数 y=|ax-1|的图象与 y=2a 的图象有两个交点.当 0a1 时,如图,所以 02a1,即 0a1 时,如图,而 y=2a1,不符合题意.所以 0a12.指数函数的性质及应用 角度一 比较指数幂的大小 典例 4(1)已知 a=(12)23,b=2-4
11、3,c=(12)12,则下列关系式中正确的是()A.cab B.bac C.acb D.abc(2)设 a=0.230.32,b=20.01,c=0.320.23,则 a,b,c 的大小关系为 .答案(1)B(2)ac2312,所以(12)43(12)23(12)12,即 bac.(2)0.230.320.230.230.320.23120.01,所以 acf(3a)的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.(1,4)D.(0,4)(2)已知(13)3+191-x,则 x 的取值范围是 .(3)已知 4x-2x+1-80,所以 ex+11,所以-2-2e+10,所以-11+-2e+1m2
12、-4m+2 恒成立,求实数 m 的取值范围.答案(1)(-,1 解析(1)令 u=-x2+2x+1,y=(12)为减函数,函数 y=(12)-2+2+1的单调减区间即函数 u=-x2+2x+1 的单调增区间.又 u=-x2+2x+1 的单调增区间为(-,1,函数 f(x)的单调减区间为(-,1.(2)f(x)是 R 上的单调递增函数.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),a-2e-+1=-a+2e+1,2a=2,a=1,f(x)=1-2e+1,令 t=ex+1,ex0,t1,又 g(t)=1-2在(1,+)上为增函数,-1g(t)1,即-1f(x)m2-4m+2 对任意的实数 x 恒成立,
13、m2-4m+2-1,即 m2-4m+30,1m3,故实数 m 的取值范围是1,3.规律总结 1.利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则.2.求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.1.不等式(12)2+0,a1,x0)的图象经过点(3,0.5).(1)求 a 的值;(2)求函数 f(x)=ax-2(x0)的值域.解析(1)函数 f(x)=ax-2的图象经过点(3,0.5),a3-2=0.5,a=12.(2)由(1)可知 f(x)=(12)-2(x0),0120,函数 f(x)的值域为(0
14、,4.A 组 基础达标 1.已知 a0,则23=()A.12 B.32 C.23 D.13 答案 D 2.若 3a4,则化简(3-)2+(4-)44的结果是()A.7-2a B.2a-7 C.1 D.-1 答案 C 3.已知在同一平面直角坐标系下,指数函数 y=ax和 y=bx的图象如图所示,则下列关系中正确的是()A.ab1 B.bab1 D.ba1 答案 C 由题图知 a,b 均大于 1,因为 y=ax与 x=1 的交点在 y=bx与 x=1 的交点上方,所以 bb1.故选 C.4.(2020 山东济宁二中期末)若函数 f(x)=a|2x-4|(a0,且 a1),且 f(1)=19,则 f
15、(x)的单调递减区间是()A.(-,2 B.2,+)C.-2,+)D.(-,-2 答案 B 由 f(1)=19得 a2=19,解得 a=13或 a=-13(舍去),即 f(x)=(13)|2-4|.因为 y=|2x-4|在(-,2)上单调递减,在2,+)上单调递增,且 y=(13)在 R 上为减函数,所以 f(x)在(-,2上单调递增,在2,+)上单调递减.故选 B.5.(2019 安徽肥东第二中学高一期中)若函数 f(x)=(3-)-3,7,-6,7是定义域内的单调递增函数,则实数 a 的取值范围是()A.(94,3)B.94,3)C.(1,3)D.(2,3)答案 B 函数 f(x)=(3-
16、)-3,7,-6,7是定义域内的单调递增函数,3-0,1,(3-)7-3 ,解得94a1,所以 f(x)=x-4+9+1=x+1+9+1-52(+1)9+1-5=1,当且仅当 x=2 时取等号,此时函数 f(x)的最小值为 1,所以 a=2,b=1,故 g(x)=2|x+1|=2+1,-1,(12)+1,-1,函数 g(x)的图象由函数 y=2,0,(12),0的图象向左平移 1 个单位长度得到.再结合指数函数的图象及选项可知 A 正确.8.函数 y=22+1(xR)的值域为()A.(0,+)B.(0,1)C.(1,+)D.(0,12)答案 B y=22+1=2+1-12+1=1-12+1,0
17、12+11,-1-12+10,01-12+11,即 0y1,即函数的值域为(0,1),故选 B.9.已知函数 f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是()A.a0,b0,c0 B.a0 C.2-a2c D.2a+2c2 答案 D 作出函数 f(x)=|2x-1|的图象,如图中实线所示,abf(c)f(b),结合图象知 f(a)1,a0,0f(c)1,0c1,02a1,12cf(c),1-2a2c-1,即 2a+2c0,且 a1)的图象必过定点 A,则点 A 的坐标是 .答案(2,4)解析 指数函数的图象恒过定点(0,1),令 4-2x=0,得 x=2,f(2)=
18、a0+3=4,点 A 的坐标是(2,4).11.已知函数 f(x)=2,0,-2-2+1,0,若 f(f(a)=4,则 a=.答案 1 或-1 解析 令 m=f(a),则 f(m)=4,当 m0 时,2m=4,解得 m=2;当 m0 时,-m2-2m+1=4,无解.故 f(a)=2,当 a0 时,2a=2,解得 a=1;当 a0 时,-a2-2a+1=2,解得 a=-1.综上,a=1 或 a=-1.12.(2020 上海高三专题练习)设函数 f(x)=3-1,1,2,1,若 f(f(a)=2f(a),则 a 的取值范围是 .答案 23,+)解析 令 f(a)=t,则 f(t)=2t,当 t1
19、时,3t-1=2t,作出直线 y=3t-1(t1)和函数 y=2t(t1)的图象如图所示.由图象可知,当 t1 时,3t-1=2t无解,当 t1 时,2t=2t恒成立,由 f(a)1 得 当 a1 时,3a-11,解得23a0,且 a1)在-1,1上的最大值是 14,则实数 a 的值为 .答案 13或 3 解析 令 t=ax(a0,且 a1),则原函数可转化为 f(t)=(t+1)2-2(t0).当 0a1,x-1,1时,t1,因为 f(t)在1,上是增函数,所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得 a=3 或 a=-5(舍去).综上,a=13或 3.C 组 思维拓展 14
20、.已知函数 f(x)=10-10-10+10-.(1)判断函数 f(x)的奇偶性;(2)证明:函数 f(x)在定义域内是增函数;(3)求函数 f(x)的值域.解析(1)易知 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=10-1010-+10=-f(x),所以函数 f(x)是奇函数.(2)证明:f(x)=10-10-10+10-=102-1102+1=1-2102+1,任取 x1,x2R,且 x2x1,则 f(x2)-f(x1)=(1-21022+1)-(1-21021+1)=21022-1021(1022+1)(1021+1).因为 x2x1,所以 1022-10210,又 1022+10,102
21、1+10,所以 f(x2)-f(x1)0,即 f(x2)f(x1),所以函数 f(x)在定义域内是增函数.(3)令 y=f(x),由 y=10-10-10+10-,解得 102x=1+1-,因为 102x0,所以-1y0,且 a1)是定义在(-,+)上的奇函数.(1)求 a 的值;(2)求函数 f(x)的值域;(3)当 x(0,1时,tf(x)2x-2 恒成立,求实数 t 的取值范围.解析(1)因为 f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x).所以 1-42-+=-1+42+,即 a=2.(2)记 y=f(x),即 y=2-12+1,所以 2x=1+1-.由 2x0 得1+1-0,解得-1y1,所以 f(x)的值域为(-1,1).(3)由 tf(x)2x-2 得2-2+12x-2,即(2x)2-(t+1)2x+t-20.令 u=2x,因为 x(0,1,所以 u(1,2,即当 u(1,2时,u2-(t+1)u+t-20 恒成立.所以12-(+1)1+-2 0,22-(+1)2+-2 0,解得 t0.故实数 t 的取值范围是0,+).
