1、第三节函数的奇偶性、周期性学习要求:1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.1.函数的奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有-xI,且 f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y轴 对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有-xI,且 f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x)就叫做奇函数关于 原点 对称提醒函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f
2、(x) 成立,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.知识拓展1.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 2.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任意一自变量x,(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0);(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a
3、0);(3)若f(x+a)=-1f(x),则T=2a(a0).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.()(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x答案B3.定义在R上的偶函数f(x
4、)满足对任意的x1,x2(-,0(x1x2),都有 f(x2)-f(x1)x2-x10,则()A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(-2)答案B4.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是()A.-13B.13 C.12D.-12答案B5.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时,f(x)=-4x2+2,-1x0,x,0x1,则f32=.答案1函数的奇偶性角度一函数奇偶性的判断典例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=3-x2+x2-3;(2)f(x)=lg(1-x2
5、)|x-2|-2;(3)f(x)=x2+x,x0.解析(1)由3-x20,x2-30,得x2=3,解得x=3,即函数f(x)的定义域为-3,3,关于原点对称,f(x)=3-x2+x2-3=0.f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由1-x20,|x-2|2得函数的定义域为(-1,0)(0,1),关于原点对称.x-20,|x-2|-2=-x,f(x)=lg(1-x2)-x.f(-x)=lg1-(-x)2x=lg(1-x2)x=-f(x),函数f(x)为奇函数.(3) 显然函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称.当x0,则f(-x)
6、=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x0时,-x0的解集是()A.(0,1) B.(-1,0)(0,1)C.(-,-1)(0,1)D.(-1,0)(1,+)答案A当x0, f(x)=-f(-x)=-x-(-x)2=x+x2,则f(x)=x-x2,x0,x+x2,x0x+10,x-x20,x0或x+10,x+x20,x0或-1x0,解得0xf(x-2)的解集为()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(1,+)D.(0,1)(2)(2020安徽马鞍山三模)已知函数f(x+2)是定义域为R的偶函数,若f(x)在(2,+)上单调递减,则不等式f(ln x)-f(1)f(x-2),得
7、f(|2x-1|)f(|x-2|),函数y=f(x)在0,+)上单调递增,|2x-1|x-2|,即(2x-1)2(x-2)2,化简得x2-10,解得x1,故不等式f(2x-1)f(x-2)的解集为(-,-1)(1,+).故选B.(2)因为f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,且f(x+2)的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.由f(x)在(2,+)上单调递减可得f(x)在(-,2)上单调递增,由f(ln x)-f(1)0得f(ln x)|2-1|=1,所以ln x3,解得0xe3.故选C.角度二奇偶性、周期性的综合应用典例6(多选题)(2020山东
8、威海高三模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则()A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x+3)是偶函数D.f(x)=f(x+4)答案CD因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2).因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2).所以f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数.名师点评
9、函数性质综合应用的注意点(1)函数单调性与奇偶性综合:注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性综合:此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性综合:解决此类问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.1.(2020重庆模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f34+x=f34-x,且当x0,34时,f(x)=log2(x+1)+m,若f(100)=log23,则实数m的值为()A.2B.1C.0D.-1答案B由f(x)为奇函数知f34-x
10、=-fx-34,fx+34=-fx-34,即fx+32=-f(x),f(x+3)=-fx+32=f(x),f(x)是周期为3的函数,故f(100)=f(1)=f12=log232+m=log23,m=1.2.已知函数f(x)=21-x,x1,2x-1,x1,若f(2x-2)f(x2-x+2),则实数x的取值范围是()A.-2,-1B.1,+)C.RD.(-,-21,+)答案D函数f(x)=21-x,x1,2x-1,x1恒成立,|2x-2-1|x2-x+2-1,即|2x-3|x2-x+1,当x32时,不等式化为2x-3x2-x+1,即x2-3x+40,不等式恒成立,所以x32;当x32时,不等式
11、化为3-2xx2-x+1,即x2+x-20,解得x-2或x1,即x-2或1x2的解集为()A.(2k+1,2k+3),kZB.(2k-1,2k+1),kZC.(4k+1,4k+3),kZD.(4k-1,4k+1),kZ答案C因为f(x+4)=f(4-x-4)=f(-x)=f(x),所以f(x)的周期为4,当x0,2时,f(x)2的解集为(1,2,易知f(x)的图象关于直线x=2对称,所以当x0,4时,f(x)2的解集为(1,3),所以当xR时,f(x)2的解集为(4k+1,4k+3),kZ.7.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x0时,f(x)=x3-2x.(1)求f(0)的值
12、;(2)求f(x)的解析式;(3)若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)因为定义域为R的函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0.(2)因为当x0,所以f(-x)=-x3-2-x.又因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x3+2-x.综上,f(x)=x3-2x,x0,0,x=0,x3+2-x,x0.(3)由f(t2-2t)+f(2t2-k)0得f(t2-2t)-f(2t2-k).因为f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)k-2t2,即3t2-2t-k0对任意tR恒成立.令3t2-2t-k=0,则=4+12k0
13、,解得k0,|2x-1|0xxx12,xR,函数f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)是奇函数,排除A、C;当x-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f(x)=22x+1-21-2x=41-4x20,f(x)在-12,12单调递增,排除B;当x-,-12时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f(x)=-2-2x-1-21-2x=41-4x20D.g(-x+1)+g(x+1)0答案AC因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,因为g(x)=f(x
14、-1),所以g(1)=f(0)=0,故A中结论正确;因为f(x)为定义在R上的减函数,且f(2)=-1,f(2)f(1)f(0),即-1f(1)0,所以-1g(2)f(x+1),所以f(x-1)-f(x+1)0,即g(-x)+g(x)0,故C中结论正确;因为g(x)=f(x-1),所以g(-x+1)=f(-x)=-f(x),g(x+1)=f(x),所以g(-x+1)+g(x+1)=-f(x)+f(x)=0,故D中结论错误.12.(多选题)(2020山东淄博高三一模)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意xR,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x0,2)时,f(x)=2x-1,给
15、出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=0B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心C.函数y=f(x)在-6,-2上单调递增D.函数y=f(x)在-6,6上有3个零点答案AB在f(x+4)=f(x)+f(2)中,令x=-2,得f(-2)=0,又函数y=f(x)是R上的奇函数,所以f(2)=-f(-2)=0,所以f(x+4)=f(x),故y=f(x)是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f(x)的图象的对称中心,所以(4,0)也是函数y=f(x)的图象的一个对称中心,故A、B正确;作出函数y=f(x)的部分图象如图所示,易知函数y=f(x)在-6,-2上不具有单调性,故C不正确
16、;因为f(2)=-f(-2)=0,且f(x)的周期为4,所以f(-6)=f(-2)=f(2)=f(6)=0,f(4)=f(0)=f(-4)=0,即函数y=f(x)在-6,6上有7个零点,故D不正确.故选AB.13.已知函数y=f(x)满足f32-x=f(x),当x34时,f(x)=sin x,则函数f(x)-12在区间0,32内的解集为.答案3,76解析由f32-x=f(x),可得f(x)的图象关于直线x=34对称,当x34时,由sin x-12,得34x76,根据对称性,当0x-12,得3x34,故解集为3,76.C组思维拓展14.(多选题)(2020山东淄博高三二模)华为5G通信编码的极化
17、码技术方案基于矩阵的乘法,如:(c1c2)=(a1a2)b11b12b21b22,其中c1=a1b11+a2b21,c2=a1b12+a2b22.已知定义在R上不恒为0的函数f(x),对任意a,bR,都有(y1y2)=(f(a)f(b)-1b+1a-11,且满足f(ab)=y1+y2,则()A.f(0)=0B.f(-1)=1C.f(x)是偶函数D.f(x)是奇函数答案AD(y1y2)=(f(a)f(b)-1b+1a-11,y1=-f(a)+f(b)(a-1),y2=f(a)(b+1)+f(b),又f(ab)=y1+y2,f(ab)=-f(a)+f(b)(a-1)+f(a)(b+1)+f(b)=
18、bf(a)+af(b),令a=b=0,则f(0)=0,令a=b=1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0,令a=b=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,令a=x,b=-1,则f(-x)=-f(x)+xf(-1),f(x)+f(-x)=0,f(x)为奇函数,故选AD.15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-3-x)=f(3-x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1x0时,f(x)=2x+1,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 020)=.答案-338解析函数f(x)满足f(-3-x)=f(3-x),即f(-3-x)=f6+(-3-x)
19、,则函数f(x)是周期为6的函数,当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2,则f(-3)=-1,f(-2)=0,f(-1)=-1,当-1x0时,f(x)=2x+1,则f(0)=2,因为函数f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=-1,f(2)=f(-2)=0,f(3)=f(-3)=-1,又函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 020)=336f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=336-1+0+(-1)+0+(-1)+2+(-1)+0+(-1)+0=-338.
