1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 四十数学归纳法30分钟55分一、选择题(每小题5分,共20分)1.等式12+22+32+n2=()A.nN*时都成立B.当n=1,2,3时成立C.当n=4时成立, n=5时不成立D.仅当n=4时不成立【解析】选B.当n=1时,左边=1,右边=1,成立;当n=2时,左边=1+4=5,右边=5,成立;当n=3时,左边=1+4+9=14,右边=14,成立;当n=4时,左边=1+4+9+16=30,右边=28,不成立;当n=5时,左边=1+4+9+16+25=55
2、,右边=47,不成立.2.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN*)能被9整除”,利用归纳法假设证明n=k+1时,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3【解析】选A.假设n=k时,原式=k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时, (k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.3.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为()A.n+1B.2nC.D.n2+n+1【解析】选C.1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可
3、将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+n)=1+=个区域.4.设f(n)=+(nN*),那么f(n+1)-f(n)=()A.B.C.+D.-【解析】选D.f(n+1)-f(n)=+-=+-=-.二、填空题(每小题5分,共15分)5.探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+22!+11!(n1,且nN*)的结果时,第一步当n=_时,A=_.【解析】因为n1,且nN*,所以n=2时,A=(2-1)(2-1)!=1.答案:216.用数学归纳法证明1+2+3+n2=,则当n=k+1时,左
4、端应在n=k时的基础上加上_.【解析】当n=k时,等式左端=1+2+k2,当n=k+1时,等式左端=1+2+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2,增加了2k+1项.即(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.答案:(k2+1)+(k2+2)+(k+1)27.设数列an的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有:(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=_.【解析】由(S1-1)2=得,S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2得,S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3得,S3=.猜想Sn=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)8.用数学归
5、纳法证明等式12-22+32-42+(-1)n-1n2=(-1)n-1.【证明】(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0=1,左边=右边,原等式成立.(2)假设n=k(kN*)时,等式成立,即有12-22+32-42+(-1)k-1k2=(-1)k-1.那么,当n=k+1时,则有12-22+32-42+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1+(-1)k(k+1)2=(-1)k-k+2(k+1)=(-1)k.所以n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)知对任意nN*有12-22+32-42+(-1)n-1n2=(-1)n-1.9.已知点Pn(an,bn)满足an+1
6、=anbn+1,bn+1=(nN*),且点P1的坐标为(1,-1).(1)求过点P1,P2的直线l的方程.(2)试用数学归纳法证明:对于nN*,点Pn都在(1)中的直线l上.【解析】 (1)由P1的坐标为(1,-1)知:a1=1,b1=-1.所以b2=,a2=a1b2=.所以点P2的坐标为.所以直线l的方程为2x+y=1.(2)要证明原问题成立只需证明点Pn都满足2x+y=1即可.当n=1时,2a1+b1=21+(-1)=1,成立.假设n=k(kN*,k1)时,2ak+bk=1成立,即bk=1-2ak成立,则2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1=(2ak+1)=1,所以当n=k+1时
7、,命题也成立.由知,对nN*,都有2an+bn=1,即点Pn在直线l上.20分钟40分1.(5分)用数学归纳法证明+cos +cos 2+cos n=时,验证n=1时,左边式子为()A.B.cos C.+cos D.【解析】选C.当n=1时,左边第一项为,最后一项为cos ,故n=1时,左边式子为+cos .2.(5分)若不等式+a(nN*)恒成立,则a的取值范围是_.【解析】设f(n)=+,则f(n+1)=+,则f(n+1)-f(n)=+-=-0,所以数列f(n)是递增的,所以f(n)f(1)=,因为不等式+a(nN*)恒成立,所以a0,且a10.记Tn=+.(1)用a1,d分别表示T1,T
8、2,T3,并猜想Tn.(2)用数学归纳法证明你的猜想.【解析】(1)T1=;T2=+=;T3=+=.由此可猜想:Tn=.(2)当n=1时,T1=,结论成立.假设当n=k(kN*)时结论成立,即Tk=.则当n=k+1时, Tk+1=Tk+=+=.即n=k+1时,结论成立.由可知,Tn=对于一切nN*恒成立.5.(13分)已知a,b,c,使等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对nN*都成立.(1)猜测a,b,c的值.(2)用数学归纳法证明你的结论.【解析】 (1)假设存在符合题意的常数a,b,c,在等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)中,令n=1,得4=(a
9、+b+c)令n=2,得22=(4a+2b+c)令n=3,得70=9a+3b+c由解得a=3,b=11,c=10,于是,对于n=1,2,3都有122+232+n(n+1)2=(3n2+11n+10)(*)成立.(2)下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立.当n=1时,由上述知,(*)式成立.假设n=k(k1)时,(*)式成立,即122+232+k(k+1)2=(3k2+11k+10),那么当n=k+1时,122+232+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(3k2+5k+12k+24)= 3(k+1)2+11(k+1)+10,由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立.关闭Word文档返回原板块
