1、一、选择题1已知正方体的外接球的体积是,则这个正方体的棱长是()A.B.C. D.解析:设正方体的外接球半径为r,正方体棱长为a,则r3,r1.a2r2.a.答案:D2(2011北京高考)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是()A8 B6C10 D8解析:将三视图还原成几何体的直观图如图所示它的四个面的面积分别为8,6,10,6,故最大的面积应为10.答案:C3(2011陕西高考)某几何体的三视图如下,则它的体积是()A8 B8C82 D.解析:由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥,所以V2328.答案:A4(2012东北三校联考
2、)如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的表面积为()A14 B6C122 D162解析:据三视图可知几何体为一正三棱柱,其中侧棱长为2,底面三角形边上的高为,即底面三角形边长为2,故其表面积S322222122.答案:C5(2011辽宁高考)已知球的直径SC4,A,B是该球球面上的两点,AB,ASCBSC30,则棱锥SABC的体积为()A3 B2C. D1解析:由题意知,如图所示,在棱锥SABC中,SAC,SBC都是有一个角为30的直角三角形,其中AB,SC4,所以SASB2,ACBC2.作BDSC于D点,易证SC平面ABD,因此V()24.
3、答案:C二、填空题6(2012金华模拟)四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三视图如图,则四棱锥PABCD的体积为_解析:易知该四棱锥中,PA底面ABCD,PAa,底面是边长为a的正方形,故体积Va2aa3.答案:a37一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_解析:设圆柱的底面半径是r,则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是2r2r4r2,设球的半径是R,则球的表面积是4R2,根据已知4R24r2,所以Rr.所以圆柱的体积是r22r2r3,球的体积是r3,所以圆柱的体积和球的体积的比是32.答案:32三、解答题8已知
4、正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都等于6,且各顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于_解析:如图,三棱柱的外接球球心为O,其中D为上底面三角形外接圆的圆心,其中AD62,又OD3,故在RtOAD中可得R|OA|,故球的表面积为4()284. 答案:849.(2012郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V11.(2)由三视图可知,该平行六面体
5、中,A1D平面ABCD,CD平面BCC1B1,所以AA12,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,S2(11112)62.10如图1,在直角梯形ABCD中,ADC90,CDAB,AB4,ADCD2,将ABC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示(1)求证:BC平面ACD;(2)求几何体DABC的体积解:(1)证明:在图1中,可得ACBC2,从而AC2BC2AB2,故ACBC.又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABCAC,BC平面ABC,BC平面ACD.(2)由(1)可知BC为三棱锥BACD的高,BC2,SACD2,VBACDSACDBC22,由VDABCVBACD可知几何体DABC的体积为.