1、第四节二次函数与幂函数学习要求:1.通过具体实例,结合y=x,y=1x,y=x2,y=x,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.二次函数(1)二次函数的定义形如 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式(i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质a0a0时,幂函数y=x有下列性
2、质:a.图象都经过点 (0,0) 、(1,1);b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当0时,幂函数y=x有下列性质:a.图象都经过点 (1,1) ;b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.(3)五种常见幂函数的图象(4)五种常见幂函数的性质函数特征性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域 R RR 0,+) x|xR且x0值域R 0,+) R0,+)y|yR且y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x0,+)时,增,x(-,0时,减 增 在0,+)上增x(0,+)时,减,x(-,0)时,减定点 (0,0),(1,1) (1,1) 1.判断正误(正确的打“”
3、,错误的打“”).(1)函数y=2x12是幂函数.()(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(3)当n0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.()(4)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xm,n的最值一定是4ac-b24a.()(5)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xR不可能是偶函数.()答案(1)(2)(3)(4) (5)2.(新教材人教A版必修第一册P91T1改编)已知幂函数f(x)=kx的图象过点12,22,则k+=()A.12B.1 C.32D.2答案C3.(新教材人教A版必修第一册P91T2改编)1212与1313的大小关系是.答案13130对任意实数x都
4、成立,则实数a的取值范围是.答案12,+幂函数的图象和性质1.(多选题)已知幂函数y=x(R)的图象过点(2,8),下列说法正确的是() A.函数y=x的图象过原点B.函数y=x是偶函数C.函数y=x是单调减函数D.函数y=x的值域为R答案AD因为幂函数y=x的图象过点(2,8),所以2=8,解得=3,所以y=x3.函数y=x3的图象过原点,所以A选项中说法正确;函数y=x3是奇函数,所以B选项中说法错误;函数y=x3在R上递增,所以C选项中说法错误;函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确.2.已知幂函数y=xpq(p,qN*,q1且p,q互质)的图象如图所示,则()A.p,q均为奇数,且
5、pq1B.q为偶数,p为奇数,且pq1C.q为奇数,p为偶数,且pq1D.q为奇数,p为偶数,且0pq1答案D由幂函数的图象关于y轴对称,可知该函数为偶函数,所以p为偶数,则q为奇数.因为幂函数y=xpq的图象在第一象限内向上凸起,且在(0,+)上单调递增,所以0pq1.3.函数y=x-23的大致图象是()答案B由幂函数的性质可知,函数y=x-23的图象在(0,+)上单调递减,故A、C错误;令f(x)=x-23=1x213,所以x(-,0)(0,+).因为f(-x)=1(-x)213=1x213=f(x),所以函数y=x-23为偶函数,故D错误.故选B.4.若a=1223,b=1523,c=1
6、213,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bcaD.bab=1532,因为y=12x是减函数,所以a=1223c=1213,所以bac.名师点评(1)对于幂函数图象的掌握只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据0,01确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式典例1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.解析解法一:(利用“一般式”解题)设f(x)=ax2+bx
7、+c(a0).由题意得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,解得a=-4,b=4,c=7.所以二次函数f(x)=-4x2+4x+7.解法二:(利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a0).因为f(2)=f(-1),所以抛物线的图象的对称轴为x=2+(-1)2=12,所以m=12.又函数有最大值8,所以n=8,所以f(x)=ax-122+8.因为f(2)=-1,所以a2-122+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4x-122+8=-4x2+4x+7.名师点评求二次函数的解析式,一般用待定系数法求解,其关键是根据已知条件恰当地选择二次函数解析式的形式,一
8、般选择规律如下:已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x-1,2时,f(x)的最小值为1,则函数f(x)的解析式为.答案f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-22x+3解析易知g(x)=-x2-3是二次函数,且为偶函数.设函数f(x)的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3.因为f(x)+g(x)是奇函数,所以a-1=0,c-3=0,解得a=1,c=3,故f(x)=x2+bx+3,函数f(x)图象的对称轴方程为x=-b2,当x-1,2时,f(x)的最小值为1,则-b22,f(2)=1.解得b=3
9、或b=-22或b=-3(舍去),故函数的关系式f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-22x+3.二次函数的图象和性质角度一二次函数图象的识别典例2一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一坐标系中的图象大致是()答案C观察A中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,故A错误;观察B中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a0,b0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x=-b2a0,故B错误;观察C中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a0,b0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该
10、开口向下,对称轴x=-b2a0,故C正确;观察D中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a0,b0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,故D错误.角度二二次函数的单调性问题典例3已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.(1)求使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数的实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间. 解析(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a2=-a,要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6.故a的取值范围是(-,-64,+).(2)当a=-1时, f(|x|)=x2-2|x|
11、+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,-4x0,x2-2x+3=(x-1)2+2,01,即a-12时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,所以-2a-1=1,即a=-1满足题意.综上,a的值为-13或-1.名师点评(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析.“三点”中有一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.(2)二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合.三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,利用函数的单调性及分类讨论的思想求解.设函数f(x)=x2-2x+
12、2,xt,t+1,tR,求函数f(x)的最小值.解析由f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xt,t+1,tR,可知函数图象的对称轴为直线x=1.当t+11,即t1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间t,t+1上为增函数,所以函数f(x)的最小值为f(t)=t2-2t+2.综上可知, f(x)min=t2+1,t1.A组基础达标1.设-1,1,12,3,则使函数y=x的定义域为R的所有的值为()A.1,3 B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3答案A2.(2020哈尔滨模拟)函数y=-x2+x+2的值域为()A.R B.0,+)C.-,32D.0,32答案D3.如图,函数y=
13、1x的图象和直线x=1、y=x、y=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:.若幂函数f(x)的图象经过的部分是,则f(x)的解析式可能是()A.y=x2B.y=1xC.y=x12D.y=x-2答案B4.(多选题)已知函数f(x)=x的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有()A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x1,则f(x)1D.若0x1x2,则 f(x1)+f(x2)21时,x1,即f(x)1,所以C正确;当0x1x2时,f(x1)+f(x2)22-fx1+x222=x1+x222-x1+x222=x1+x2+2x1x24-x1+x22=2x1x2-x1-x24=-
14、(x1-x2)240,即f(x1)+f(x2)20,若a,bR,a+b0,所以函数f(x)在(0,+)上为增函数,故m=2,所以f(x)=x7,又f(-x)=-f(x),所以f(x)是定义域为R的单调递增的奇函数,由a+b0,得a-b,所以f(a)f(-b)=-f(b),则f(a)+f(b)0,且=1-4ab=0,故4ab=1,所以b0.a+4b24ab=2,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立.所以a+4b的取值范围是2,+).8.已知f(x)=x2+bx+c,不等式f(x)0的解集是(0,4).(1)求f(x)的解析式;(2)若对于任意的x-1,3,不等式f(x)-t2恒成立,
15、求t的取值范围.解析(1)由题意可知0和4是方程x2+bx+c=0的两根,即有0+4=-b,04=c,解得b=-4,c=0,所以f(x)=x2-4x.(2)对于任意的x-1,3,不等式f(x)-t2恒成立,即2+tf(x)在-1,3上恒成立,由f(x)图象的对称轴为直线x=2,f(-1)=1+4=5,f(3)=9-12=-3,可得f(x)在-1,3上的最大值为5,即2+t5,解得t3,故t的取值范围是3,+).B组能力拔高9.已知函数f(x)=-x2+4x,xm,5的值域是-5,4,则实数m的取值范围是()A.(-,-1)B.(-1,2C.-1,2 D.2,5答案C易知二次函数f(x)=-x2
16、+4x的图象是开口向下的抛物线.f(x)的最大值为4,且在x=2时取得,当x=5或-1时,f(x)=-5.作出函数f(x)的图象,如图所示,结合函数f(x)的图象可知m的取值范围是-1,2.10.(多选题)已知实数a,b满足等式a12=b13,则下列关系式中可能成立的是()A.0ba1B.-1ab0C.1ab D.a=b答案ACD画出y=x12与y=x13的图象(如图),设a12=b13=m,作出直线y=m.从图象知,若m=0或m=1,则a=b;若0m1,则0ba1,则1a4acB.2a-b=1 C.a-b+c=0D.5a0,即b24ac,故A正确;对称轴为直线x=-b2a=-1,b=2a,即
17、2a-b=0,故B错误;由图象可知,当x=-1时,y0,即a-b+c0,故C错误;把x=1,x=-3代入解析式可得a+b+c=0,9a-3b+c=0,两式相加整理可得5a-b=-c,又当x=0时,y=c0,则5a-b2x+m恒成立,即x2-3x+1m在区间-1,1上恒成立.令g(x)=x2-3x+1,因为g(x)在-1,1上的最小值为g(1)=-1,所以m-1.故实数m的取值范围是(-,-1).C组思维拓展14.已知函数f(x)=x12,0xc,x2+x,-2x0,则f(x)的零点是;若f(x)的值域是-14,2,则c的取值范围是.答案-1和0;(0,4解析当0xc时,由x12=0,解得x=0;当-2x0时,由x2+x=0,解得x=-1,所以函数f(x)的零点为-1和0.当0xc时,f(x)=x12,所以0f(x)c;当-2x0时, f(x)=x2+x=x+122-14,所以-14f(x)2.若f(x)的值域是-14,2,则c2,即0c4,故c的取值范围是(0,4.
